Задача 04. Даны четыре вектора (а1, а2, а3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. (1,3,5), (0,2,0), (5,7,9), (0,4,16). Решение: Как известно, базисом в пространстве является любая упорядоченная система из трёх линейно независимых векторов. Покажем, что векторы , и линейно независимы, т.е. выполняется равенство:
при условии, что все числа , , одновременно равны нулю. Подставляя в это равенство координаты векторов , , , получаем: (е1 + 3е2 + 5е3) + (2е2) + (5е1 + 7е2 + 9е3) = 0 или ( + 5 ) ∙ е1 + (3 + + 7 ) ∙ е2 +(5 + 9 ) ∙ е3 = 0 Для того, чтобы вектор, разложенный по базису е1, е2, е3 был равен нулевому вектору, его координаты должны равняться нулю, т.е. ....... .... .. .. .
