ЗАДАЧА №121. Найти производную данных функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д)
РЕШЕНИЕ: а)
б)
в)
г)
д)
ЗАДАЧА №131. Найти и : а) б)
РЕШЕНИЕ: а)
б)
ЗАДАЧА №141. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы её сопротивление на сжатие было наибольшим?
РЕШЕНИЕ:
Пусть одна из сторон сечения равна Х, тогда из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим, что другая сторона равна
Площадь сечения
Сопротивление балки на сжатие будет наибольшим при условии наибольшего значения функции (на интервале (0;d)). Находим вначале критические точки:
Интервалу (0;d) принадлежит критическая точка . При , при . Следовательно, - точка максимума функции S(x). На концах интервала , . Длина другой стороны . Таким образом, наибольшее сопротивление на сжатие имеет балка квадратного сечения со стороной .
ЗАДАЧА №151. Провести полное исследование функции и построить её график .
РЕШЕНИЕ:
1) Область определения функции . 2) На всей области определения функция непрерывна. Вертикальных асимптот график функции не имеет. Находим наклонные асимптоты вида . , . Таким образом, - горизонтальная асимптота. 3) Так как для всех действительных Х , функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической. 4) Так как для всех действительных Х, то при , при . Если , то . Если , то , . Следовательно, (0;0) – единственная точка пересечения графика с осями координат. 5) Находим промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
- + -
min max
6) Находим промежутки выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба.
- + - +
пере-гиб пере-гиб пере-гиб
7) По результатам проведённых исследований строим график функции.
ЗАДАЧА №161. Дана функция . Показать, что . РЕШЕНИЕ:
Следовательно,
ЗАДАЧА №171. Даны функция и две точки и . Требуется: 1) вычислить значение функции в точке B; 2) вычислить приближенное значение функции в точке B исходя из значения функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке . , .
РЕШЕНИЕ:
1) 2) ; ; ; ; ; ; ; ; ; Приближённое значение:
Относительная погрешность
3) Уравнение касательной плоскости ; ; .
ЗАДАЧА №181. Найти неопределенные интегралы (результаты в случаях «а» и «б» проверить дифференцированием): а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
РЕШЕНИЕ:
а) Проверка:
б)
Проверка размерности:
в) Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.
Следовательно,
г) Пусть , тогда , . Следовательно,
д) Пусть , тогда . Следовательно,
ЗАДАЧА №191. Вычислить определенный интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Пусть , тогда , при , при . Следовательно,
ЗАДАЧА №201. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
РЕШЕНИЕ:
По определению несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
ЗАДАЧА №211. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , и прямой .
РЕШЕНИЕ:
По формуле
Находим площадь фигуры
(кв.ед.)
Литература.
1. Жевняк Р.М. Высшая математика: В 5ч. – Мн.: Выш. Шк., 1984. – Ч.2-4. 2. Руководство к решению задач по высшей математике: Учебное пособие. В 2 ч./ Е.И. Гурский, В.П. Домашов, В.К. Кравцов и др. – Мн.: Выш.Шк., 1989. – ч.1-2. 3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. /под ред. Рябушко А.П. – Мн.: Выш. Шк. 1990. – ч1,2. 4. Гусак А. А. Справочник по высшей математике. В 2ч. – Mн.: ТетраСистемс, 2004. ч.1, 2.
