2 202. Аккумулятор при внешнем сопротивлении 9 Ом дает ток в цепи 0,8 А, а при сопротивлении 15 Ом сила тока 0,5 А. Найти ЭДС аккумулятора, его внутреннее сопротивление и ток короткого замыкания. Ответ: ε = 8 В; r = 8 А; Iкз = 8А 211-213.По тонкому прямолинейному проводнику протекает постоянный ток I. Найти индукцию магнитного поля на расстоянии b от проводника в точке О' для случаев, указанных на Рис.25 Рис.25 Дано: Решение: Магнитная индукция, создаваемая отрезком прямолинейного проводника с током I равна: (cos cos ), 4 1 2 0 α α π μ μ = − b I B В - ? Дано: I1=0,8A I2=0,5A R1=9 Ом R2=15 Ом ε − ? r - ? Iкз - ? Решение: Закон Ома для полной цепи имеет вид R r I + = ε , где I – ток в цепи, ε - э.д.с. аккумулятора, r – внутреннее сопротивление аккумулятора, R – сопротивление нагрузки. Тогда по условию: 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 (I I )r I R I R I r I R I r I R − = − ⎩ ⎨ ⎧ − = − = ε ε , отсюда , 2 1 1 1 2 2 I I r I R I R − − = далее (из первого уравнения) . 2 1 1 1 2 2 1 1 1 I I I R I I R I R − − ε = + Подставим численные значения, получим 8 ; 0,5 0,8 0,8 * 0,5 (9 15 ) 1 ; 0,5 0,8 0.8 * 0.9 15 В А А А А Ом Ом Ом А А r A Oм Ом = − − = = − − = ε Ток короткого замыкания (R=0 Ом) равен 8 ; 1 8 А Ом В r I ε кз = = = Проверка размерности [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [2 ] * 2 * . Ом А В А Ом А I ε I R Ом; А Ом*А I r I * R = = = = = = = А В I L b O’ α1 β α2 3 где b – расстояние от точки наблюдения до проводника, μ0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды, α1 и α2 – углы, указанные на рисунке. Т.к. α1= 2 π , то cos α1=0. Cos α2 = cos(π − β )= - cos β = b2 L2 L + − , где L – толщина проводника. Окончательно получим, что ; 4 2 2 0 b b L В μ μIL + = π Проверка размерности [ ] [ ] [ ] [ ] Тл А м Н м Дж А м м А м В С А м м Гн А b В = μ I = = = = = * * * 1 * * * * * * 0 . Ответ: ; 4 2 2 0 b b L В μ μIL + = π 22.Ток I0 течет в одном направлении по длинной трубе, стенки которой имеют радиусы a и b, и в обратном направлении по тонкому проводнику, расположенному вдоль оси трубы (рис.29). Найти магнитную индукцию на расстоянии a < x < b от оси трубы. Рис.29 Дано: Решение: Воспользуемся уравнением Максвелла в интегральной форме ∫ H dl = I r r * , H r - напряженность магнитного поля в точках контура, dl r - элемент контура, по которому осуществляется обход, I – суммарный ток, проходящий через поверхность, натянутую на контур. Считаем, что ток по стенке трубы распределен равномерно. Тогда плотность тока в стенке трубы равна ( 2 2 ) 0 b a j I − = π ; B(a<x<b) - ? В качестве контура возьмем окружность радиуса х, с центром в тонком проводнике. Исходя из симметрии задачи, можно утверждать, что H r направлен в каждой точке контура по его касательной и по величине не зависит от точки контура, а зависит только от х. Тогда получаем (обход против часовой стрелки): ; 2 * ( ) * 2 1 2 ( ( ) ), или 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 x I b a b x b a I I x a x H H x j x a I π π π π − − = ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ − − = − − = − − r r x a b Н r 4 Магнитная индукция равна 2 2 2 2 0 0 0 * 2 b a b x x B H I − − = = π μμ μμ r , где μ0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды. Проверка размерности: [ ] [ ] [ ] [ ] Тл А м Н м Дж А м м А м А В С А м I Гн м x B = = = = = = * * * 1 * * / * * * 0 0 μ . Ответ: 2 2 2 2 0 0 * 2 b a b x x B I − − = π μμ . 232.Квадратная рамка со стороной a и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости (рис.31). Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти э.д.с. индукции в рамке как функцию расстояния r Рис.31 Дано: Решение: Магнитная индукция прямолинейного проводника с током I на расстоянии х от проводника равна , 2 0 x B I π μμ = где μ0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды. Вычислим поток магнитного поля через плоскость квадратной рамки со стороной а в ее положении, когда расстояние от проводника до ее ближайшей стороны равно r. ε - ? ln 1 . 2 2 0 0 ⎟⎠⎞ ⎜⎝ ⎛ + = = ∫ + r a π μμ Ia x a dx π Ф μμ I r a r Поскольку r=vt+r0 (r0 – начальное положение рамки, v – скорость ее движения, t – время), то э.д.с. индукции равна: . 2 ( ) * * 1 * 1 dt 2 2 0 2 0 r r a v Ia v r a r a dФ Ia + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝⎛ + = − = − π μμ π μμ ε Проверка размерности [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] ( ) ( ) В С А А В С С Гн А м Гн м А м м с r I a v = = / * * * / = * = * * = 2 2 2 2 0 μ ε . Ответ: . 2 ( ) 2 0 r r a Ia v + = π μμ ε I υ r r a 5 242. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину dmin пленки, если показатель преломления материала пленки n = 1,4. Дано: Решение: 1 4 500 n , λ нм; = = При нормальном падении света с длиной волны λ на пленку толщиной d и с коэффициентом преломления и разность хода световых волн равна . 2 2 λ D = dn ± Условие максимального усиления света при интерференции Δ= kλ (k = 0;±1,...) . dmin – ? В данной задаче это условие таково: λ λ dn + = k 2 2 (k=1; 2; 3 …). Минимальная толщина dmin реализуется при k=1, т.е. n d min 4 λ = . Подставив численные значения, получим dmin= нм 89нм 4*1,4 500 ≈ . Ответ: dmin ≈ 89нм . 252. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в n = 4,6 раза больше длины световой волны. Найти общее число M дифракционных максимумов, которые теоретически можно наблюдать в данном случае. Дано: Решение: d=4.6λ Уравнение, описывающее положение главных Максимов дифракционной решетки, следующее: d sinϕ = mλ , где d – постоянная решетки, λ - длина волны монохроматического света, φ – угол дифракции, m M– ? - порядок максимума (m=0; ±1; ±2…). Тогда ϕ λ m = d sin . Поскольку sinϕ ≤ 1, то набольший порядок максимума равен [ ] , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ = ⎡ λ m d m - целая часть. Общее теоретическое число максимумов равно [ ] 9 1 6 . 4 2 1 2 1 2 = + = + ⎥⎦⎤ ⎢⎣ = + = ⎡ λ M m d m . Ответ: 9. 262. Параллельный пучок света переходит из глицерина в стекло так, что пучок, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол γ между падающим и преломленным пучками. 6 Дано: Решение: По закону Брюстера отраженный от границы сред свет будет полностью поляризованным, если выполняется соотношение tgα1=n2/n1, где α1 – угол падения пучка света, n1- показатель преломления глицерина, n2 – показатель преломления стекла. Согласно закону преломления света 1 1 2 2 n sinα = n sinα , где 2 α - угол преломления пучка света. Искомый угол 2 2 γ =α +π −α . Из закона Брюстера при n1=1,47 и n2 =1,50 находим: n1 – 1.47 (глицерин) n2 – 1.50 (стекло) 0.795 1.50 1.47 1 α = arctg ≈ γ – ? Из закона преломления следует α2= = ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ 1 2 arcsin 1 sinα n n sin 0.795 0.775. 1.50 47 . 1 arcsin ≈ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ = ⎛ Тогда γ = 3.14 +γ = 3.14 + 0.775 − 0.795 = 3.12 ≈ 178.9° Ответ: 178,9º. 272.Мощность излучения абсолютно черного тела равна 34 квт. Найти температуру этого тела, если известно, что его поверхность равна 0.6м2 Дано: W = 3.4*104 Вт S = 0.6 м2 Решение: По закону Стефана-Больцмана мощность излучения с поверхности абсолютно черного тела, имеющего температуру Т равна W = σT 4S , где S – площадь излучающей поверхности, σ = 5,67*10-8 Вт/(к4*м2) – постоянная Стефана-Больцмана. Тогда . * 4 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ = ⎛ S T W σ T – ? Подставим численные данные, получим К м к м Вт T Вт 1000 * 0,6 * 5,67 *10 3.4 *10 4 1 2 4 2 8 4 ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − Ответ: 1000 К. 282.Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, вырванных с поверхности калия γ-квантами, равна 1,53 МЭВ. Определить частоту γ-квантов. Дано: Решение: Тmax = 1,53 МэВ Ак = 2,2 эВ (3,5*10-19 Дж) По закону фотоэффекта Эйнштейна k h = T + A max υ , где υ - частота γ-кванта, h – 6.63*10-34 Дж*с – постоянная Планка, Тmax – максимальная энергия фотоэлектронов, Ак - υ – ? Работа выхода фотоэлектрона из металла. γ 1 α 1 α 2 α n1 n2 7 Тогда 1( ). max k T A h υ = + Подставим численные значения: h =6.63*10-34 Дж*с, Ак = 3,5*10- 19 Дж, Тmax = 1,53*106 эВ*1,6*10-19 Дж/эВ, получим Гц Дж с Дж эВ эВ Дж 20 34 6 19 19 3,7 *10 6.63*10 * 1,53*10 *1,6*10 3,5*10 ≈ + = − − − υ Ответ: υ ≈ 3,7 *1020 Гц 292. Пусть электрон заключен в области порядка 10-12 см. Чему равна неопределенность его импульса? Какой энергии это соответствует? (Эта величина намного превышает ядерную энергию связи, поэтому внутри ядер электронов нет). Дано: l = 10-12 м Решение: Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга 2 * π Δ Δ ≥ x x p , где Δx – неопределенность координаты частицы, Δрх – неопределенность ее импульса, h - постоянная Планка. Считаем неопределенность координаты равной Δх=l/2, где l – размер области локализации электрона. Δpx– ? T - ? Тогда неопределенность импульса электрона l px π Δ ≥ . Неопределенности импульса, равной l π , соответствует кинетическая энергия 2 2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ = ⎛ m l T e π , где e m - масса электрона. Подставим h = 1,05*10-34 Дж*с, l = 10-12 м, e m =9,1*10-31 кг, получим: Дж кг с кг м T ; с p . * Дж*с , * кг*м x 9 31 22 22 12 34 6,1*10 2 *9,1*10 1.05*10 * 1 05 10 10 Δ 105 10 − − − − − − ≈ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ≥ = Ответ: Δpx=1,05*10-22 кг*м/с, T =6,1 Дж.
