ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ 9 Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 15 1.1. Разложение вектора по базису 15 1.2. Коллинеарность векторов 17 1.3. Угол между векторами 18 1.4. Площадь параллелограмма 19 1.5. Компланарность векторов 21 1.6. Объем и высота тетраэдра 22 1.7. Расстояние от точки до плоскости 25 1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором .... 27 1.9. Угол между плоскостями 28 1.10. Канонические уравнения прямой 29 1.11. Точка пересечения прямой и плоскости 32 1.12. Проекция точки на плоскость или прямую 35 1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости 37 Глава2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 40 2.1. Правило Крамера 40 2.2. Обратная матрица 43 2.3. Понятие линейного пространства 45 2.4. Системы линейных уравнений 48 2.5. Линейные операторы 57 2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора 59 2.7. Действия с операторами и их матрицами 63 2.8. Преобразование координат вектора 66 2.9. Преобразование матрицы оператора 69 2.10. Собственные значения и собственные векторы 72 ГлаваЗ. ПРЕДЕЛЫ 75 3.1. Понятие предела последовательности 75 3.2. Вычисление limn^oo[Pfc(n)/Qm(n)] 77 3.3. Вычисление \imn^^[f (п)/д(п)] 79 3.4. Вычисление limn->c»[u(n)w(n)] 81 3.5. Понятие предела функции 83 3.6. Понятие непрерывности функции в точке 86 3.7. Вычисление \imx^a[Pn(x)/Qm(x)] 88 Оглавление 3.8. Вычисление \imx^o[f (х) / д(х)] 90 3.9. Вычисление limx^a[f{x)/g{x)] 92 3.10. Вычисление Итж^оИж) (ж)] 93 3.11. Вычисление \imx^a[u(x)v(x)] 96 3.12. Вычисление \imx^a F(u(x)v(x) + f(x)) 98 Глава4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 101 4.1. Понятие производной 101 4.2. Вычисление производных 103 4.3. Уравнение касательной и нормали 106 4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала .... 107 4.5. Логарифмическое дифференцирование 108 4.6. Производная функции, заданной параметрически 110 4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически . 112 4.8. Производные высших порядков 114 4.9. Формула Лейбница 116 4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически ... 118 Главаб. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ 121 5.1. Общая схема построения графика функции 121 5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции 128 5.3. Исследование функции с помощью производных высших по- рядков 130 Глав а 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ... 133 6.1. Частные производные 133 6.2. Градиент 135 6.3. Производная по направлению 138 6.4. Производные сложной функции 139 6.5. Производная неявной функции 142 6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 144 6.7. Экстремум функции двух переменных 146 Глава 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 150 7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала .... 150 7.2. Интегрирование по частям 152 7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещест- венными корнями знаменателя 154 7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещест- венными корнями знаменателя 157 7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комп- лексными корнями знаменателя 161 7.6. Интегрирование выражений .R(sin x, cos x) 165 7.7. Интегрирование выражений sin2m x cos2n x 169 Оглавление 7.8. Интегрирование выражений R(ж, 7.9. Интегрирование выражений R(x, \Ja2 ± х2) и Д(ж, л/ж2 — а2) 173 7.10. Интегрирование дифференциального бинома 176 Глав а 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 179 8.1. Подведение под знак дифференциала 179 8.2. Интегрирование по частям 181 8.3. Интегрирование выражений R(sinx, cos ж) 8.4. Интегрирование выражений sin2m ж, cos2n x 8.5. Интегрирование выражений R (ж, 8.6. Интегрирование выражений R(x, \Ja2 ± х2) и R(x, \Jx2 — a2 8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах 194 8.8. Вычисление длин дуг у = f(x) 196 8.9. Вычисление длин дуг х = x(t), у = y(t) 198 8.10. Вычисление длин дуг д = д(^р) 200 8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений ... 201 8.12. Вычисление объемов тел вращения 203 Глав а 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 206 9.1. Криволинейные интегралы первого рода 206 9.2. Криволинейные интегралы второго рода 211 Глава 10. РЯДЫ 215 10.1. Понятие суммы ряда 215 10.2. Первая теорема сравнения 218 10.3. Вторая теорема сравнения 221 10.4. Признак Даламбера 223 10.5. Признак Коши 226 10.6. Интегральный признак Коши 229 10.7. Признак Лейбница 231 10.8. Приближенное вычисление суммы ряда 233 10.9. Область сходимости функционального ряда 235 10.10. Область сходимости степенного ряда 238 10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием .... 241 10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием . 245 10.13. Ряд Тейлора 249 10.14. Приближенные вычисления с помощью рядов 251 Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 255 11.1. Понятие решения 255 11.2. Уравнения с разделяющимися переменными 256 11.3. Однородные уравнения 259 11.4. Линейные уравнения 1-го порядка 261 Оглавление 11.5. Уравнение Бернулли 266 11.6. Уравнения в полных дифференциалах 269 11.7. Уравнения вида F(x,y{k\y{k+1)) = 0 273 11.8. Уравнения вида F[у, у', у") = 0 275 11.9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .... 278 11.10. Принцип суперпозиции 282 11.11. Метод Лагранжа 285 Глава 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 289 12.1. Изменение порядка интегрирования 289 12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах 293 12.3. Двойной интеграл в полярных координатах 296 12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах 301 12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла .... 305 12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах 308 12.7. Вычисление площадей в полярных координатах 311 12.8. Вычисление массы плоской пластины 314 12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах 319 12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах 322 12.11. Тройной интеграл в сферических координатах 325 12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла .... 329 12.13. Вычисление массы тела 332 Глава 13. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 337 13.1. Поверхностный интеграл первого рода 337 13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности 340 13.3. Интеграл по сферической поверхности 343 Глава 14. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 346 14.1. Векторные линии 346 14.2. Поток векторного поля 348 14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра 352 14.4. Поток векторного поля через часть сферы 355 14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского 359 14.6. Работа силы 361 14.7. Циркуляция векторного поля 363 14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса 365
