Рис.1: Электрическая схема (ЭС) постоянного тока, согласно варианту. Преобразовать схему к двухконтурной: преобразование соединения «треугольник» (1-2-3), соединением «звезда» (1-0-2-3): Рис. 2: Преобразование ЭС эквивалентному соединению «звезда» R12=(R1∙R2)/(R1+R2+R7)= (150∙290)/(150+290+470)=48 Ом R27=(R2∙R7)/(R1+R2+R7)= (290∙470)/(150+290+470)=150 Ом R17=(R1∙R7)/(R1+R2+R7)=(150∙470)/(150+290+470)=78 Ом Рассчитать двухконтурную схему, используя метод двух узлов:
Рис. 3: Преобразование ЭС для подсчёта цепи методом двух узлов. Суммарное сопротивление ветвей: R4327=R4+R3+R27=420+460+150=1030 Ом R812=R8+R12=110+48=158 Ом R5617=R5+R6+R17=370+130+78=578 Ом Эквивалентные источники ЭДС источникам тока: E〖04〗^'=I04∙R4=2∙420=840 В E〖08〗^'=I08∙R8=3∙110=330 В Эквивалентные источники ЭДС для ветвей: E〖304〗^'=E3+E〖04〗^'=500+840=1340 В E〖808〗^'=E8+E〖08〗^'=400+330=730 В Напряжение между узлами 0 и 6: U06=(E304'/R4237+E808'/R812)/(1/R4327+1/R812+1/R5617)=(1340/1030+730/158)/(1/1030+1/158+1/578)=656 В Находим токи в ветвях: I3^''=U06/R5617=651/578=1,14 A I2^''=(U06-E808')/R812=(651-730)/158=-0,47 A I1^''=(U06-E304')/R4327=(651-1340)/1030=-0,67 A
Разворачивая схему в обратном порядке найти токи в исходной схеме: Потенциалы узлов #1,#2,#3 относительно узла #0: φ1=I1^'∙R12=-0,47∙48=-22,56 В φ2=I2^'∙R27=-0,67∙150=-100,5 В φ3=I7^'∙R17=1,14∙78=88,92 В Посчитаем токи в ветвях треугольника по закону Ома: I1=(φ3-φ1)/R1=(88,92+22,56)/150= 0,74 A I2=(φ1-φ2)/R2=(-22,56+100,5)/290= 0,27 A I7=(φ2-φ3)/R7=(-100,5-88,92)/470=- 0,40 A Токи в остальной части цепи по первому закону Кирхгофа: I6=I1-I7=0,74+0,40=1,14 A I5=I6=1,14 A I8=I1-I2-I08=0,74-0,27-3=-2,53 A I3=I2-I7=0,27+0,4=0,67 A I4=I3+E3/R3-I04=-0,42+500/460-2= -1,33A Найти напряжение между точками U41: U41=I1∙R1+I6∙R6=0,74∙150+1,14∙130=259,2 В Проверить баланс мощностей: P_ист=E3∙I3+E8∙I8-I4∙R4∙I04-(I8∙R8-E8)∙I08= =500∙0,67+400∙(-2,53)-(-1,33)∙420∙2- -((-2,53)∙110-400)∙3=2477 Вт
P_пр= 〖I1〗^2∙R1+ 〖I2〗^2∙R2+〖I3〗^2∙R3+〖I4〗^2∙R4+ +〖I5〗^2∙R5+〖I6〗^2∙R6+〖I7〗^2∙R7+〖I8〗^2∙R8= =〖0,74〗^2∙150+〖0,27〗^2∙290+〖0,67〗^2∙460+〖1,33〗^2∙420+ +〖1,14〗^2∙(370+130)+〖0,4〗^2∙470+〖2,53〗^2∙110=2481Вт Определить токи в ветвях исходной схемы методом законов Кирхгофа:
Рис. 4: Обозначение на схеме контуров и токов в ветвях Составим систему уравнений, для узлов #1-5 и контуров I, II и III: {█(I1-I2-I8-I08=0@I2-I7-I3-0@I6+I7-I1=0@I5-I6=0@I3-I4-I04=0@I1∙R1+I2∙R2+I7∙R7=0@I5∙R5+I6∙R6+I1∙R1+I8∙R8=E8@I2∙R2+I3∙R3+I4∙R4-I8∙R8=E3-E8)┤ Результат работы в MathCAD:
Определить токи в ветвях исходной схемы методом контурных токов: Примечание: В матрицах A и B (п.8 и п.9) рассматриваются узлы #1-5 и контуры I, II и III соответственно (см. рис.4).
Определить токи в ветвях исходной схемы методом узловых напряжений:
Определить ток в заданной ветви методом эквивалентного генератора напряжения (R4):
Рис. 5: Обозначение контурных токов и напряжения холостого хода Система уравнений для токов в контурах: {█(J3=I04@J4=I08@J2∙(R1+R5+R6+R8)-(J3+J4)∙R8+J1∙R1=E8@J1∙(R1+R2+R7)+J2∙R1+J3∙R2=0)┤ Подставляя численные значения: {█(J3=2 A@J4=3 A@J2∙760-5∙110+J1∙150=400@J1∙910+J2∙150+2∙290=0) <=> {█(J3=2 A@J4=3 A@J1=-0,87 А@J2=1,42 А)┤┤ Отсюда выразим токи I1, I2, I3: I1=J4+J3-J2=3+2-1,42=3,58 A I2=J3+J1=2-0,87=1,13 A I3=J3=2 A Находим Uxx: Uxx=U65=U61+U12+U25= =(-E8-I1∙R8)+(-I2∙R2)+(-I3∙R3+E3)= =(-400-3,58∙110)+(-1,13∙290)+(-2∙460+500)=-1541,5 B
Закаратив в цепи все источники ЭДС и разомкнув источники тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 5 и 6 (см. рис.6). Примечание: преобразуем соединение резисторов «треугольник» в звезду (см. п.2 и п.3) Рис.6: Сопротивление ветвей
Находим ток в заданной ветви: I4=Uxx/(Rген+R4)=(-1541,5)/(710+420)=-1,36 А Для выбранного замкнутого контура схемы, включающего не менее 2-х источников ЭДС, построить в масштабе потенциальную диаграмму. Рассмотрим контур 1-2-5-6-1. Для удобства расчёта потенциалов узлов выберем за базисную точку узел 2. Обход будем производить по часовой стрелке: φ5'=E3=500 В; φ5=φ5'-I3∙R3=500-0,67∙460=192 В; φ6=φ5-I4∙R4=192+1,35∙420=759 В; φ1'=φ6+I8∙R8=759-2,53∙110=480 В; φ1=φ1^'-E8=480-400=80 В; φ2=φ1-I2∙R2=80-0,27∙290=0 В; Потенциалы точек 5’ и 1’ – это потенциал точек на ветви 61 и 25 соответственно, между источником ЭДС и резистором.
