Задание согласно варианту представлено в таблице: Номер ветви Начало - конец Сопротивления Источник ЭДС R XL XC Мод. Арг. 1 31 0 48 0 0 0 2 12 54 0 59 41 53 3 24 89 0 0 0 0 4 45 62 0 0 0 0 5 56 81 0 0 0 0 6 63 0 35 33 0 0 7 15 0 11 69 0 0 8 23 0 29 96 0 0
Найти токи по методу. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Найти ток в ветви 3 МЭГ.
Решение Изобразим граф схемы. При этом расположим узлы таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1)
Рис. 1. Граф схемы
В каждую ветвь последовательно включаем активные сопротивления, индуктивности, ёмкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Схема электрической цепи, полученная для данного задания, изображена на рис. 2.
Далее рассчитаем цепь методом преобразования. Обозначим направление токов в ветвях данной цепи (рис. 2). Z_1=〖jX〗_L1=j48 Ом Z_2=R_2-〖jX〗_C2=54-j59 Ом Z_3 =R_3=89 Ом Z_4=R_4=62 Ом Z_5 =R_5=81 Ом Z_6 =〖jX〗_L6 〖-jX〗_C6=j35-j33=j2 Ом Z_7=〖jX〗_L7-〖jX〗_C7=j11-j63=-j52 Ом Z_8=〖〖jX〗_L8-jX〗_C8=j29-j96=j67 Ом
Преобразуем полученную схему по принципу преобразования в эквивалентную звезду (рис.3).
Рис. 2. Часть преобразуемой схемы. Z_a=(〖(Z〗_5+Z_6)*Z_1)/(Z_5+Z_6+Z_1+Z_7 )=-2.369+j47.942 Ом Z_b=(Z_1*Z_7)/(Z_5+Z_6+Z_1+Z_7 )=30.796+j0.76 Ом Z_c=(〖(Z〗_5+Z_6)*Z_7)/(Z_5+Z_6+Z_1+Z_7 )=2.566-j51.937 Ом Учитывая последние расчёты, схема примет вид. (Рис.3)
Рис.3. Преобразованная схема цепи. Далее найдём эквивалентное сопротивление Z0 пассивной цепи относительно источника ЭДС. Z_0=((Z_8+Z_a )(Z_c+Z_3+Z_4))/(Z_8+Z_a+Z_c+Z_3+Z_4 )+Z_b+Z_2 (1) Z_0= 84.595+j76.877=〖114.308e 〗^(-j〖42.264〗^0 ) Ом
Рис.4. Преобразованная цепь. Комплекс тока в первой ветви определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению: I ̇_2=E ̇/Z_0 =〖41e 〗^(j〖53〗^0 )/(〖114.308e 〗^(-j〖42.264〗^0 ) )=-0.033+j0.357=〖0.359e 〗^(j〖95.264〗^0 ) Отсюда, I ̇_8=I ̇_2*((Z_c+Z_3+Z_4 ))/(Z_c+Z_3+Z_4+Z_8+Z_a )=-0.071+j0.341=〖0.348e〗^(〖j101.731〗^o ) A I ̇_3=I ̇_4=I ̇_2-I ̇_8=-0,038+j0.016=〖0.041e〗^(〖j23.331〗^o ) A I ̇_7=(-E_2-〖I ̇_3 (Z ̇〗_3+Z ̇_4)+〖I ̇_2 Z ̇〗_2)/Z_7 = 0.174+j6.529*〖10〗^(-3)=〖0.174e〗^(〖j2.148〗^o ) A I ̇_1=I ̇_2+I ̇_7=0.141+j0.364=〖0.39e〗^(〖j68.792〗^o ) A I ̇_5=I ̇_6=I ̇_1-I ̇_8=0.212+j0.023=〖0.213e〗^(〖j6.158〗^o ) A По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения: i ̇_1=√2*0.39 sin(ωt+68.792) A; i ̇_2=√2*0.359 sin(ωt+95.264) A; i ̇_3=i ̇_4=√2*0.041 sin(ωt+23.331) A; i ̇_5=i ̇_6=√2*0.213 sin(ωt+6.158) A; i ̇_7=√2*0.174 sin(ωt+2.148) A; i ̇_8=√2*0.348 sin(ωt+101.731) A;
Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС: S ̃=(E_2 ) ̇*(I_2 ) ̈=10.893-j9.899 B Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС: P_E=10.883 Вт а реактивная мощность Q_E=-j9.89 Вар. Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи: P_потр=〖I_2〗^2 R_2+〖I_3〗^2 〖(R〗_4+R_3)+〖I_5〗^2 R_5=10.883 Вт Реактивная мощность нагрузки определяется выражением: Q_пр=I_5^2 (X_L6-X_C6 )+I_1^2 (X_L1 )+I_2^2 (-X_C2 )+I_7^2 (X_L7-X_C7 )+I_8^2 (X_L8-X_C8 )=-9.89 Вар Таким образом, активные и реактивные мощности в цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой. Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме: I ̇_1=0.141+j0.364 A I ̇_2=-0.033-j0.357 A I ̇_3=I ̇_4=0.038+j0.016 A I ̇_5=I ̇_6=0.212+j0.023 A I ̇_7=0.174+j6.529*〖10〗^(-3) A I ̇_8=-0.071+j0.341 A Анализ приведённых значений показывает, что для тока удобно выбирать масштаб mi=0,05 A / дел. Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цепи откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю. При этом порядок распространения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку распространения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цепи соответствует определённая точка на диаграмме. Принимаем, что нулевой потенциал имеет точка 2 (см рис. 2) . φ ̇_2=0. Определим потенциалы остальных точек: φ ̇_4=φ ̇_2-I_3 R_3=-3.37-j1.454 B φ ̇_5=φ ̇_4-I_3 R_4=-5.718-j2.466 B φ ̇_11=φ ̇_5+I_7 (-X_С7 )=-5.307-j13.43 B φ ̇_1=φ ̇_11+I_7 X_L7=-5.378-j11.516 B φ ̇_7=φ ̇_1-I_2 R_2=-3.602-j30.803 B φ ̇_8=φ ̇_7-I_2 (-X_L2 )=-24.674-j32.744 B Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 2 и 8этого контура включён источник ЭДС. Вычислим напряжение: U_28=φ ̇_2-φ ̇_8=24.674+j32.744=〖41e〗^(〖j53〗^o ) B Напряжение U ̇_28 оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчётов по определению потенциалов. Найдём потенциалы остальных точек: φ ̇_6=φ ̇_5-I_5 R_5=-22.882-j4.318 B φ ̇_10=φ ̇_6-I_5 X_L6=-22.081-j11.734 B φ ̇_3=φ ̇_10-I_5 (-X_С6 )=-22.826-j4.742 B φ ̇_1=φ ̇_3-I_1 X_L1=-5.378-j11.516 B φ ̇_9=φ ̇_3+I_8 (-X_С8 )=9.884+j2.052 B φ ̇_2=φ ̇_9+I_8 X_L8=0 B Сравним значение φ ̇_2 с полученным выше потенциалом точки 2. Они оказываются равными. По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению mu на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы. Принимаем mu=5 В / деление. Диаграмма, полученная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 5.
Определение тока в резисторе R_3 методом эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи. Разделим электрическую цепь на две части: эквивалентный генератор и потребитель (рис. 7).
Рис. 7. Эквивалентная схема замещения
На схеме (рис.7) искомый ток I_3 определим по закону Ома для замкнутой цепи:
I ̇_3=E ̇_э/(Z_3+Z_э ),
где E ̇_э - ЭДС эквивалентного генератора, величину которой определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода (E ̇_э=U_хх); Z_э- внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, величину которого определяют как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов. Для определения напряжения на зажимах генератора в режиме холостого хода исключим из рассматриваемой цепи (рис. 2) ветвь, содержащую сопротивление Z3, и представим остальную часть цепи (режим холостого хода):
Рис. 8. Схема для расчета E ̇_э
Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов (рис.8):
I ̇_02=I ̇_I=-0.039+j0.361 A; I ̇_07=I ̇_II=0.213+j0.028 A;
Знание токов I ̇_02 и I ̇_07 позволяет определить напряжение холостого хода:
U ̇_хх=I ̇_07 Z_7-I ̇_02 Z_2+E_2=6.967-j0.112 B.
Для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник (рис. 8) в пассивный, при этом источник ЭДС закорачивается:
Рис.9. Схема для расчета R_э
Необходимо найти сопротивление между точками 2 и 4. Заменим треугольник резисторов Z_1 Z_7, и Z_56 звездой. Схема замещения представлена на рисунке 10.
Зная E_э=U_хх и Z_э, найдем ток исследуемой ветви:
I_03=E_э/(Z_3+Z_э )=0.038+j0.016 (А).
Литература Ю.Г. Толстов, А.А. Теврюков: Теория электрических цепей. Москва 1970; Теоретические основы электротехники. Теория электрических цепей и электромагнитного поля Автор: Башарин С.А., Федоров. Москва.: 2004г. Методическая разработка БГУИР. Интернет
