Вариант №1. Задача №1. Обработать ряд наблюдений, полученных в результате многократных прямых измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить по одной из форм МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Вид ФВ - ток, ее размерность - мкА, число наблюдений N=20, первый элемент выборки ряда J=1 взять из таблицы по предпоследней цифре шифра зачетной книжки студента, номер ряда взять из таблицы по последней цифре шифра. Доверительную вероятность принять Рд = 0,99 - для нечётных вариантов. Берем из таблицы 1-й ряд и выбираем 20 членов с 1-го по 20-й включительно. Решение: Таблица 1. i Xi Vi Vi2 1 22,0123 -0.4362 0.1903 2 22,9939 0.5454 0.2975 3 22,2742 -0.1743 0.0304 4 23,0254 0.5769 0.3328 5 22,3024 -0.1461 0.0213 6 22,0120 -0.4365 0.1905 7 22,8651 0.4166 0.1736 8 22,3795 -0.0690 0.0048 9 22,7172 0.2687 0.0722 10 22,8255 0.3770 0.1421 11 22,4244 -0.0241 5.7985e-4 12 20,0291 -2.4194 5.8534 13 22,7570 0.3085 0.0952 14 22,3292 -0.1193 0.0142 15 22,9448 0.4963 0.2463 16 22,0760 -0.3725 0.1387 17 23,0105 0.5620 0.3159 18 22,0643 -0.3842 0.1476 19 23,0317 0.5832 0.3401 20 22,8951 0.4466 0.1995 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости. Вычислим среднее арифметическое результатов наблюдений:
Значение принимается за результат измерения. Определим случайные отклонения результатов отдельных наблюдений.
Результаты занесем в таблицу 1. Правильность вычислений и определяем по формуле . Если , то имеют место ошибки в вычислениях. Вычислим оценку среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений .
С помощью критерия грубых погрешностей (критерий «трех сигм») проверяем наличие грубых погрешностей. Если , то такое наблюдение содержит грубую погрешность и его необходимо исключить. В задаче , и из таблицы 1 видно, что наблюдение №12 содержит грубую погрешность и его необходимо исключить. Таблица 2. i Xi Vi Vi2 1 22,0123 -0.5635 0.3176 2 22,9939 0.4181 0.1748 3 22,2742 -0.3016 0.0910 4 23,0254 0.4496 0.2021 5 22,3024 -0.2734 0.0748 6 22,0120 -0.5638 0.3179 7 22,8651 0.2893 0.0837 8 22,3795 -0.1963 0.0385 9 22,7172 0.1414 0.0200 10 22,8255 0.2497 0.0623 11 22,4244 -0.1514 0.0229 12 22,7570 0.1812 0.0328 13 22,3292 -0.2466 0.0608 14 22,9448 0.3690 0.1361 15 22,0760 -0.4998 0.2498 16 23,0105 0.4347 0.1890 17 22,0643 -0.5115 0.2616 18 23,0317 0.4559 0.2078 19 22,8951 0.3193 0.1019 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости. Вычислим среднее арифметическое результатов наблюдений:
Значение принимается за результат измерения. Определим случайные отклонения результатов отдельных наблюдений.
Результаты занесем в таблицу 2. Правильность вычислений и определяем по формуле . Если , то имеют место ошибки в вычислениях. Вычислим оценку среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений .
, и из таблицы 2 видно, что грубые погрешности отсутствуют. Определим оценку среднего квадратического отклонения результата измерения :
Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле мкА. Вычисляем параметр . Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если , где и - квантили распределения. Выбираем уровень значимости q равным 1 %. Из таблицы находим = 0,900, = 0,695. Сравнивая полученное значение с этими величинами, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки «концов» распределений. Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m разностей Vi превзошли значение , где верная квантиль распределения нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2. Для решаемой задачи выбираем уровень значимости q2 = 1% и для n = 19 P = 0,99 и m = 1. Тогда находим ZP/2 = 2,58. Отсюда = 0,988 мкА. Согласно критерию 2 не более (m = 1) разности Vi могут превзойти значение 0,988 мкА. По данным, приведенным в таблице 2, видим, что ни одно V не превышает критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется. Таким образом, с уровнем значимости q q1+ q2 = 0,1 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений. По заданной доверительной вероятности РД=0,99 и числу степеней свободы (n-1)=18 распределения Стьюдента определим коэффициент t:
Рассчитаем границы случайной погрешности результата измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №2. Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности принять Рд= 0,99 для нечетных вариантов. При расчетах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30. В процессе обработки результатов прямых измерений напряжения U определено (все значения в вольтах): среднее арифметическое , среднее квадратическое отклонение результата измерения , границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности и . Решение: Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
Для РД=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576 [2]. Тогда . Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения:
где m − число суммируемых погрешностей; − граница i-ой неисключенной погрешности; к − коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l). При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую. Для нашей задачи . Используя первую кривую графика, находим k = 1,22.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, . Найдем отношение: . Значит, граница погрешности результата будет [2]: , Где – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей. – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Коэффициент вычисляют по эмпирической формуле:
Определим доверительные границы суммарной погрешности результата измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №8. Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности принять Рд = 0,99 для нечётных вариантов. При расчётах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30. В процессе обработки результатов прямых измерений индуктивности катушки L определено: среднее арифметическое мГн; границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности мГн, мГн. Случайная погрешность пренебрежимо мала. Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения: , где m − число суммируемых погрешностей; − граница i-ой неисключенной погрешности; к − коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l). При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую. Для нашей задачи . Используя вторую кривую графика, находим k = 1,23.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, . Запишем результат измерения:
Задача №15. Необходимо, воспользовавшись результатами обработки прямых измерений, продолжить обработку результатов косвенного измерения и, оценив его случайную погрешность, записать результат по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Емкость конденсатора С измерялась косвенным методом путём многократных измерений емкостей С1 и С2 с учётом зависимости . При обработке принять , нФ; , нФ; , нФ; , нФ; . n=15, РД=0,99. Решение: Значение результата косвенного измерения:
Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:
Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей. В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения. Для решаемой задачи . Следовательно, является «ничтожной» погрешностью, и ей можно пренебречь.
Для определения значение коэффициента Стьюдента t для заданной доверительной вероятности РД=0,99 и n=15 предварительно должно быть определено “эффективное” число степеней свободы:
Применим линейную интерполяцию: , где t1, t2 и n1, n2 − соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений, между которыми находится значение . При и РД=0,99 n1=14, t1=2,977, n2=16 t2=2,921 [1].
Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №20. Необходимо, воспользовавшись результатами однократных измерений и предварительной оценки составляющих погрешности, оценить суммарную погрешность результата однократного измерения. Результат измерения записать по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Доверительную вероятность принять РД=0,95. В процессе однократного измерения сопротивления получен результат Ом. Предварительно оценены среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения сопротивления Ом и границы неисключённых остатков двух составляющих систематической погрешности Ом и Ом. Решение: Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
Для однократных измерений и РД=0,99 значение коэффициента Стьюдента t=2,6. Тогда . Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения: , где m − число суммируемых погрешностей; − граница i-ой неисключенной погрешности; к − коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l). При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую. Для нашей задачи . Используя первую кривую графика, находим k = 1,09.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, . Найдем отношение: , значит граница погрешности результата будет:
Запишем результат измерения:
Задача №29. Необходимо определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока или напряжения, если измерения проводились магнитоэлектрическим прибором с классом точности и пределом измерения А. Результат измерения В, вольтметр с нулём в середине шкалы, класс точности , предел 200 В . Решение: Для магнитоэлектрического вольтметра класс точности определяется значением максимальной приведенной погрешности: [2]:
Предел инструментальной абсолютной погрешности:
Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы, поэтому .
Задача №38. Определить для магнитоэлектрического измерительного механизма (МЭИМ) значение вращающего момента и потребляемую мощность при протекании по его рамки тока . Магнитная индукция в зазоре , активная площадь рамки , число витков . Значение внутреннего сопротивления . Решение: Вращающий момент при В=const (магнитное поле равномерно):
Потребляемая мощность при протекании по его рамки тока:
Описание и схема. Основой магнитоэлектрических приборов является измерительный механизм (ИМ), в которых вращающий момент создаётся в результате взаимодействия магнитного поля постоянного тока магнита и магнитного поля проводника с током, конструктивно выполняемого в виде катушки (рамки). магнитная система ИМ образуется постоянным магнитом 1, полюсными наконечниками 2 с цилиндрической расточкой и неподвижным сердечником цилиндрической формы из магнитомягкого материала. В воздушном зазоре между полюсными наконечниками и сердечником благодаря такой конструкции создается практически равномерное радиальное магнитное поле, в котором свободно поворачивается рамка 4. Она образуется тонким медным проводом, намотанным на бумажный или алюминиевый каркас прямоугольной формы. К катушке приклеивают алюминиевые буксы, в которых закрепляются полуоси (или растяжки) подвижной части ИМ. Противодействующий момент создается спиральными пружинами 5 (или растяжками), через которые в обмотку катушки подается измеряемый ток. Для создания Му используется короткозамкнутый виток, размещаемый на катушке. Эксцентрический винт 6 образует корректор (для начальной установки стрелки на нуль), а грузики — противовесы 7 служат для балансирования подвижной части ИМ.
Задача №55. При измерении постоянного напряжения цифровым вольтметром кодоимпульсного преобразования на выходе декадного счетчика был получен двоично-десятичный код Nдд. Цифроаналоговый преобразователь, формирующий компенсирующее напряжение Uк, выполнен по четырехразрядной десятичной схеме с весовыми коэффициентами 8-4-2-1. Младший разряд соответствует 1 мВ. Определить измеренное значение постоянного напряжения и погрешность его измерения, обусловленную погрешностью дискретности. Значения Nдд приведены в таблице: 0001 0101 0011 0101 Решение:
Nдд = 5351 Uк =5351 мВ Погрешность дискретности:
Составляющая погрешности определяется шагом квантования, который определяет младший разряд числа
Задача №63. Определить относительную и абсолютную погрешности измерения частоты f2=160 кГц универсальным цифровым частотомером, если время измерения Ти=0,1 с, нестабильность частоты кварцевого генератора . Решение: Относительная погрешность измерения частоты:
N − число подсчитанных импульсов. − погрешность дискретности. Абсолютная погрешность измерения частоты:
Задача №71. Определить вид интерференционной фигуры, если на вход Y осциллографа подан синусоидальный сигнал частотой f1=0,5 кГц, а на вход Х – частотой f2=0,25 кГц. Решение: Число пересечений вертикальной ( ) и горизонтальной ( ) линий с изображением фигуры связаны с и следующим соотношением:
, т.е. если через изображение фигуры провести вертикальную и горизонтальную линии так, чтобы они не пересекались с узлами фигуры, то точек пересечения вертикальной линии будет в 2 раза меньше, чем точек пересечения горизонтальной линии и интерференционный фигуры:
Задача №84. Необходимо по типу измеряемого элемента выбрать схему моста, записать для нее условие равновесия, получить из него выражения для Сх, Rх, tg или Lx, Rx, Q и определить их. При этом измеряемый элемент заменить соответствующей эквивалентной схемой, трансформировав при необходимости схему моста. На окончательной схеме показать в виде переменных элементы (резисторы, конденсаторы и т.д.), которыми его следует уравновешивать, чтобы обеспечить прямой отсчет заданных в условии величин. Частота питающего напряжения 1 кГц. Определить абсолютные погрешности однократного измерения Сх, Rх, tg или Lx, Rx, Q из-за неидеальности образцовых мер R2=830 Ом, R3=2,2 кОм, R4=12 кОм, C3=15 нФ, если средние квадратические отклонения случайных погрешностей этих мер R2=0,5 Ом, R3=0,8 Ом, R4=3 Ом, C3=0,02 нФ. Значение доверительной вероятности принять Рд= 0,99. Конденсатор с малыми потерями. Прямой отсчет Сх и Rx. Решение: Конденсатору с малыми потерями соответствует последовательная схема замещения.
Условие равновесия моста запишется в виде
Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части, получим выражения для Rx, Cx. (Ом); (нФ); Частные случайные погрешности косвенного измерения:
Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:
Коэффициент Стьюдента t для однократных измерений и заданной доверительной вероятности РД=0,99 равен . Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №97. Определить полное сопротивление двухполюсника Zx и его составляющие R и X на частоте f1, если до подключения двухполюсника к резонансному измерителю получены значения емкости образцового конденсатора С01 и добротности Q1 при отсутствии двухполюсника Zx, а при подключении Zx к резонансному измерителю (параллельно образцовому конденсатору) получены значения С02 и Q2. Определить характер реактивности. С01=350 пФ, С02=49 пФ, Q1=80, Q2=36 и f1 =400 кГц. Решение Так как С1 > C2 и двухполюсник подключается параллельно образцовому конденсатору, то двухполюсник имеет емкостной характер. Если C1 < C2, то двухполюсник при таком подключении имел бы индуктивный характер [2] Cx = C01 C02 = 350 49 = 301 (пФ). Тогда реактивная составляющая полного сопротивления (Ом). Так как используется параллельная схема подключения, то активная составляющая определяется по формуле ; R 74410 (Ом). Полное сопротивление двухполюсника: Z = R jX = (74410 j1322) Ом.
Литература
1. Белошицкий А.П. Метрология и измерения: Учеб.-метод. пособие для индивидуальной работы студентов/ А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В. Лялькова. – Мн.: БГУИР, 1999. – 72с. 2. Елизаров А.С. Электрорадиоизмерения. – Мн.: Выш. шк., 1986. – 320с.
