Чтобы сделать треугольник 3-4-1 пассивным, преобразуем источник напряжения E_8^' в источник тока J_8^': J_8^'=(E_8^')/R_8 =8220/940=8.745 (A) Пассивный треугольник 3-4-1 преобразуем в пассивную звезду (рис.4), где R_234=(R_2∙R_34)/(R_34+R_2+R_8 )=102.083 (Ом) R_28=(R_8∙R_2)/(R_34+R_2+R_8 )=137.083 (Ом) R_348=(R_34∙R_8)/(R_34+R_2+R_8 )=342.708 (Ом)
Рис.4. Преобразование «треугольник-звезда».
Источник тока J_8^' преобразуем в источники напряжения:
Определим токи на рисунке 6 на основании второго закона Кирхгофа: U_05=I_6 R_56^'-E_6^'; I_6=(E_6^'+U_05)/(R_56^' )=1.997 (А) U_05=〖-E〗_07^ +I_7^' R_7^'; I_7^'=(E_07^ +U_05)/(R_7^' )=2.526 (А) U_05=〖E_28^ -I〗_1 R_1^'; I_1=(〖-U〗_05+E_28^ )/(R_1^' )=4.523 (А) По схеме (рис. 5) определим напряжение между узлами 4 и 1:
U_41=I_7^' R_234-E_28^ +I_1 R_28=-320.811 (В),
Определим ток I_2 (рис. 3):
I_2=U_41/R_2 =-1.146 (А).
Для определения неизвестных токов I_8, I_7, I_3 составим уравнение по первому закону Киргофа (рис. 2) для узлов 4, 5, 1:
для узла 4 I_8=I_1-J_08-I_2=-2.331 (А), для узла 5 I_7=I_1-J_07-I_6=-2.474 (А), для узла 1 I_3=I_2-J_07-I_7=-3.672 (А),
Составление баланса мощностей.
ЭДС положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви. Мощность источника тока определяется произведением тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлени¬ях на зажимах источника тока и тока источника.
Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна: I^2 R=P.
Определение тока в резисторе R_4 методом эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи. Разделим электрическую цепь на две части: эквивалентный генератор и потребитель (рис. 7).
Рис. 7. Эквивалентная схема замещения
На схеме (рис.7) искомый ток I_4 определим по закону Ома для замкнутой цепи: I_4=E_э/(R_4+R_э ),
где E_э - ЭДС эквивалентного генератора, величину которой определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода (E_э=U_хх); R_э - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, величину которого определяют как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов.
Для определения напряжения на зажимах генератора в режиме холостого хода исключим из рассматриваемой цепи (рис. 2) ветвь, содержащую сопротивление R4, и представим остальную часть цепи (режим холостого хода):
Рис. 8. Схема для расчета E_э
Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов (рис.8):
Знание токов I_02, I_08 позволяет определить напряжение холостого хода:
U_хх=I_08 R_8-I_02 R_2-E_8=-5061 (В).
Для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник (рис. 8) в пассивный, при этом источники ЭДС закорачиваются, а источники тока размыкаются:
Рис.9. Схема для расчета R_э
Необходимо найти сопротивление между точками 3 и 6. Заменим треугольник резисторов R_1 R_56, и R_8 звездой. Схема замещения представлена на рисунке 10.
Тогда R_э=R_856+R_3+((R_18+R_2 )(R_7+R_156))/(R_18+R_2+R_7+R_156 )=918.32 (Ом). Зная E_э=U_хх и R_э, найдем ток исследуемой ветви:
I_04=E_э/(R_4+R_э )=-3.672 (А).
Построение потенциальной диаграммы.
Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов контура. На рис. 11 показан контур, для которого мы будем строить потенциальную диаграмму.
Рис. 11. Контур для построения потенциальной диаграммы
По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат – значения потенциалов точек. Базисную точку помещаем в начало координат (рис.12).
Результаты расчетов представим в виде таблицы:
I_1,А I_2, А I_3, А I_4, А I_5, А I_6, А I_7,А I_8, А U_24,В U_хх,В R_э,Ом Р, Вт 4.523 -1.146 -3.672 -3.672 1.997 1.997 -2.474 -2.331 2452 -5061 918.32 30960
Часть 2 “РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА” Задание согласно варианту представлено в таблице: Номер ветви Начало - конец Сопротивления Источник ЭДС R XL XC Мод. Арг. 1 51 52 0 0 44 144 2 14 0 36 36 0 0 3 46 0 36 0 0 0 4 62 0 33 41 0 0 5 23 0 52 62 0 0 6 35 52 0 0 0 0 7 12 11 0 0 0 0 8 45 62 0 88 0 0
Найти токи по методу. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Найти ток в ветви 4 МЭГ.
Изобразим граф схемы. При этом расположим узлы таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1)
Рис. 1. Граф схемы
В каждую ветвь последовательно включаем активные сопротивления, индуктивности, ёмкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Схема электрической цепи, полученная для данного задания, изображена на рис. 2.
Рис. 2. Схема электрической цепи.
Далее рассчитаем цепь методом преобразования. Обозначим направление токов в ветвях данной цепи (рис. 2). Z_1=R_1=52 Ом
Z_2=〖jX〗_L2 〖-jX〗_C2=j36-j36=0 Ом
Z_3 =〖jX〗_L3=j36 Ом
Z_4=〖jX〗_L4 〖-jX〗_C4=j33-j41=-j8 Ом
Z_5 =〖jX〗_L5 〖-jX〗_C5=j52-j62=-j10 Ом
Z_6 =R_6=52 Ом
Z_7=R_7=11 Ом
Z_8=R_8-〖jX〗_C8=62-j88 Ом Преобразуем по лученную схему по принципу преобразования в эквивалентную звезду (рис.3).
Рис. 2. Часть преобразуемой схемы. Z_a=(〖(Z〗_3+Z_4)*Z_7)/(Z_3+Z_4+Z_7+Z_2 )=9.529+J3.744 Ом Z_b=(Z_2*Z_7)/(Z_3+Z_4+Z_7+Z_2 )=0 Ом Z_c=(〖(Z〗_3+Z_4)*Z_2)/(Z_3+Z_4+Z_7+Z_2 )=0 Ом Учитывая последние расчёты, схема примет вид. (Рис.3)
Рис.3. Преобразованная схема цепи. Далее найдём эквивалентное сопротивление Z0 пассивной цепи относительно источника ЭДС. Z_0=((Z_8+Z_c )(Z_a+Z_5+Z_6))/(Z_8+Z_c+Z_a+Z_5+Z_6 )+Z_b+Z_1 (1) Z_0= 91.354-j16.944=〖92.912e 〗^(-j〖10.508〗^0 ) Ом
Рис.4. Преобразованная цепь. Комплекс тока в первой ветви определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению: I ̇_1=E ̇/Z_0 =〖44e 〗^(j〖144〗^0 )/(〖92.912e 〗^(-j〖10.508〗^0 ) )=-0.427+j0.204=〖0.474e 〗^(j〖154.508〗^0 ) Отсюда, I ̇_8=I ̇_1*((Z_a+Z_5+Z_6 ))/(Z_a+Z_c+Z_5+Z_6+Z_8 )=-0.187-j0.02=〖0.188e〗^(〖-j173.953〗^o ) A I ̇_5=I ̇_6=I ̇_1-I ̇_8=-0.24+j0.224=〖0.328e〗^(〖j137.019〗^o ) A I ̇_7=(E_1-〖I ̇_1 Z ̇〗_1-〖I ̇_5 (Z ̇〗_5+Z_6))/Z_7 = -0.284+j0.112=〖0.305e〗^(〖j158.467〗^o ) A I ̇_2=I ̇_1-I ̇_7=-0.143+j0.092=〖0.17e〗^(〖j147.394〗^o ) A I ̇_3=I ̇_4=I ̇_2-I ̇_8=0.044+j0.112=〖0.12e〗^(〖j68.467〗^o ) A По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения: i ̇_1=√2*0.474 sin(ωt+154.508) A; i ̇_2=√2*0.17 sin(ωt+147.394) A; i ̇_3=i ̇_4=√2*0.12 sin(ωt+68.467) A; i ̇_5=i ̇_6=√2*0.328 sin(ωt+137.019) A; i ̇_7=√2*0.305 sin(ωt+158.467) A; i ̇_8=√2*0.188 sin(ωt-173.953) A;
Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС: S ̃=(E_1 ) ̇*(I_1 ) ̈=20.506-j3.804 B Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС: P_E=20.506 Вт а реактивная мощность Q_E=-j3.804 Вар. Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи: P_потр=〖I_1〗^2 R_1+〖I_6〗^2 R_6+〖I_7〗^2 R_7+〖I_8〗^2 R_8=20.487 Вт Реактивная мощность нагрузки определяется выражением: Q_пр=I_3^2 (X_L4+X_L3-X_C4 )+I_5^2 (X_L5-X_C5 )+I_2^2 (X_L2-X_C2 )+I_8^2 (-X_C8 )=-3.8 Вар Таким образом, активные и реактивные мощности в цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.
Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме: I ̇_1=-0.427+j0.204 A I ̇_2=-0.143+j0.092 A I ̇_3=I ̇_4=0.044+j0.112 A I ̇_5=I ̇_6=-0.24+j0.224 A I ̇_7=-0.284+j0.112 A I ̇_8=-0.187-j0.02 A Анализ приведённых значений показывает, что для тока удобно выбирать масштаб mi=0.05 A / дел. Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цепи откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю. При этом порядок распространения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку распространения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цепи соответствует определённая точка на диаграмме.
Принимаем, что нулевой потенциал имеет точка 1 (см рис. 2) . φ ̇_1=0. Определим потенциалы остальных точек: φ ̇_2=φ ̇_1-I_7 R_7=3.125-j1.233 B φ ̇_10=φ ̇_2-I_5 〖(X〗_L5)=14.756+j11.248 B φ ̇_3=φ ̇_10-I_5 (-X_C5 )=0.888-j3.633 B φ ̇_5=φ ̇_3-I_6 R_6=13.369-j15.264 B φ ̇_7=φ ̇_5-I_1 R_1=35.597-j25.863 B
Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 1 и 7 этого контура включён источник ЭДС. Вычислим напряжение: U_17=φ ̇_1-φ ̇_7=-35.597+j25.863=〖44e〗^(〖j144〗^o ) B Напряжение U ̇_17 оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчётов по определению потенциалов. Найдём потенциалы остальных точек: φ ̇_8=φ ̇_1-I_2 〖(X〗_L2)=3.302+j5.163 B φ ̇_4=φ ̇_8-I_2 (-X_C2 )=0 B φ ̇_6=φ ̇_4-I_3 〖(X〗_L3)=4.017-j1.585 B φ ̇_9=φ ̇_6-I_4 〖(X〗_L4)=7.7-j3.038 B φ ̇_11=φ ̇_4-I_8 R_8=11.622+j1.231 B φ ̇_5=φ ̇_11-I_8 (-X_C8 )=13.369-j15.264 B
Сравним значение φ ̇_5 с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказываются равными. По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению mu на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы. Принимаем mu=5 В / деление. Диаграмма, полученная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 5.
Определение тока в резисторе R_4 методом эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи. Разделим электрическую цепь на две части: эквивалентный генератор и потребитель (рис. 7).
Рис. 7. Эквивалентная схема замещения
На схеме (рис.7) искомый ток I_4 определим по закону Ома для замкнутой цепи:
I ̇_4=E ̇_э/(Z_4+Z_э ),
где E ̇_э - ЭДС эквивалентного генератора, величину которой определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода (E ̇_э=U_хх); Z_э- внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, величину которого определяют как эквивалентное сопротивление пасcивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов. Для определения напряжения на зажимах генератора в режиме холостого хода исключим из рассматриваемой цепи (рис. 2) ветвь, содержащую сопротивление Z4, и представим остальную часть цепи (режим холостого хода):
Рис. 8. Схема для расчета E ̇_э
Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов (рис.8):
I ̇_07=I ̇_II=-0.242+j0.211 A; I ̇_02=I ̇_I=-0.19-j0.016 A;
Знание токов I ̇_07 и I ̇_02 позволяет определить напряжение холостого хода:
U ̇_хх=I ̇_07 Z_7-I ̇_02 Z_2=-2.663+j2.321 B.
Для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник (рис. 8) в пассивный, при этом источник ЭДС закорачивается:
Рис.9. Схема для расчета R_э
Необходимо найти сопротивление между точками 2 и 6. Заменим треугольник резисторов Z_a Z_b, и Z_c звездой. Схема замещения представлена на рисунке 10.
Зная E_э=U_хх и Z_э, найдем ток исследуемой ветви:
I_04=E_э/(Z_4+Z_э )=0.044+j0.112 (А).
Литература
Ю.Г. Толстов, А.А. Теврюков: Теория электрических цепей. Москва 1970; Теоретические основы электротехники. Теория электрических цепей и электромагнитного поля Автор: Башарин С.А., Федоров. Москва.: 2004г. Методическая разработка БГУИР. Интернет
