Определить реакции опор А и В горизонтальной балки АВ, если на нее действует сосредоточенная сила F, пара сил с моментом m и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Схемы десяти типов балок даны на рисунке 1, а числовые данные для расчета приведены в таблице 1. Таблица 1 – Исходные данные для расчета реакций в опорах
Величина вариант 1 F, кH 20 q, кН/м 8 m, Нм 8000 l, м 8 d1, м 4 d2, м 3 , рад /6
Решение
Fy=F*sin30°=20*0,5=10 кН
Fx=F*cos30°=20*0,866=17,32 кН
Заданная схема представляет собой статически определимую балку, соответственно, реакции опор можно найти используя уравнения равновесия. Запишем сумму моментов относительно опорных точек. Сумма моментов относительно опор Σ MB = - M + Fy * d2 - RD * (l-d) - q * (d12/2)+q* (d22/2) = 0 Σ MD = RB * (l-d1) - M - Fy * (1 – d1 – d2) - q *(d1 – d2)2 /2 = 0 Из этих уравнений находим реакции опор RB =(M + Fy*(1–d1–d2)+q*(d1 – d2)2/2)/ (l-d) = (8+10*(8 – 4 – 3)+8*(4 – 3)2 /2)/(8-4)=67.5 кН RD =(- M + Fy * d2 - q * (d12/2)+q* (d22/2)) /(l-d) =(- 8 + 10 * 3 - 8 * 8-8*4,5)/4 = - 1.5 кН Сумма проекций сил на ось Х Σ FiX =0; RBx – Fx=0 Откуда RBx = Fx =17,32 кН Проверка. Σ FiY=0; RBу + RD – Fy – q * (d1 + d2 ) = 0 67,5 -1,5 – 10 – 8 *(4 + 3) =0 Реакции найдены верно.
Ответ: RBу = 67,5 кН RBx =17,32 кН; RD = – 1,5 кН
Задача 2
К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рисунок 2, 110). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов по длине вала; 2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность, полученные значения округлить; 3) построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала; 4) построить эпюру углов закручивания, приняв G0,4E. Для стали модуль упругости первого рода считать равным Е=2105 МН/м2. Числовые данные для расчетов приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Исходные данные для расчета ступенчатого вала Расстояния, м Моменты, кНм [], Варианты a b c T1 T2 T3 T4 МПа 1 1,0 1,0 1,0 5,1 2,1 1,1 0,1 30 Необходимо определить крутящие моменты на участках вала, подобрать сечение и вычислить углы закручивания участков Допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа . Модуль сдвига G=80000МПа Именуем участки слева направо и записываем значения крутящих моментов по методу сечений.
участки 1 2 3 4
Эпюры на отдельном листе Необходимо определить крутящие моменты на участках вала, подобрать сечение и вычислить углы закручивания участков Допускаемое касательное напряжение [τ]=35МПа . Модуль сдвига G=80000МПа
Решение
Определяем величину уравновешивающего момента. ΣМх = 0; – М0 + М1 + М2 + М3 – М4 = 0 Откуда М0 = М1 + М2 + М3 – М4 = 5,1 +2,1 + 1,1 – 0,1 = 8,2 кН 2 Разбиваем вал на четыре участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние моменты. Именуем участки слева направо и записываем значения крутящих моментов по методу сечений Mкр1=M0=8.2кНм Mкр2=M0 – M1=3.1кНм Mкр3=M0 – M1 – M2=1кНм Mкр4=M0 – M1 – M2 – M3= – 0.1кНм По результатам вычислений строим эпюру . 3. Определяем диаметр вала из условия прочности на кручение max , или , где – полярный момент сопротивления площади поперечного сечения, – наибольший по величине крутящий момент на данном участке. Для сплошного круглого вала
Окуда диаметр вала
а) участки I и II Мкр.max = 8,2 kH • м
м3 м = 112 мм Принимаем ближайший больший стандартный диаметр: d1 = 115 мм тогда полярный момент сопротивления:
Полярный момент инерции: м4 а) участки III и IV
Мкр.max = 1 kH • м
м3 м = 55 мм
Принимаем ближайший больший стандартный диаметр: d1 = 60 мм тогда полярный момент сопротивления:
Полярный момент инерции: м4 Напряжения кручения на участках вала: Па = 27,459 МПа
Па = 10,381 МПа
Па = 23,579 МПа
Па = – 2,358 МПа Строим эпюру напряжений кручения. Углы закручивания на отдельных участках вала. рад
рад
рад
рад
Углы закручивания сечений вала Угол поворота сечений находим, суммируя углы закручивания участков, начиная с левого конца вала 5,969*10-3рад 8,226*10-3 рад 0,018 рад 0,017 рад
Строим эпюру углов закручивания сечений вала.
Задача 3
Для заданной схемы балки (рисунок 3, 110) требуется написать в общем виде выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих в поперечных сечениях каждого участка балки, построить эпюры Q и М, найти Мmax и подобрать по таблице А1 приложения А cтальную балку двутаврового поперечного сечения при []=160 МПа. Данные взять из таблицы 3.
Таблица 3 – Исходные данные для расчета балки Д а н н ы е в е л и ч и н ы Варианты а, м b, м с, м l, м F, кH М,кНм q, кН/м 1 2,0 3,2 1,8 10 20 7 22
Заданная схема представляет собой статически определимую балку, соответственно, реакции опор можно найти используя уравнения равновесия. Запишем сумму моментов относительно опорных точек. Сумма моментов относительно опор Σ MA = F * a – M – RD * (l – c) + q * c * (l – (c/2)) = 0 Σ MD = RA * (l – c) – F *(l – c – a) – M + q * (c2/2) = 0 Из этих уравнений находим реакции опор RA = (F *(l – c – a) + M – q * (c2/2))/ (l – c); RA =(20 *(10 – 1,8 – 2) + 7– 22 * (1,82/2))/ (10 – 1,8) = 11,63 кН RD = (F * a – M + q * c * (l – (c/2)))/ * (l – c); RD = (20 *1,8 – 7 + 22 * 1,8 * (10 – (1,8/2)))/ (10 –1,8) = 47,97 кН Записываем уравнения поперечных сил на участках балки На первом участке: 0 ≤ z ≤ 2 м Q(z) = RA = 11,63кН На втором участке: 2 ≤ z ≤ 5,2 м Q(z) = RA – F = – 8,37кН На третьем участке: 5,2 ≤ z ≤ 8,2 м Q(z) = RA – F = – 8,37кН На четвертом участке: 8,2 ≤ z ≤ 10 м Q(z) = RA – F + RD – q * (z – l – c) Q(8,2) = 39,6кН Q(10) = 0кН Записываем уравнения изгибающих моментов по участкам – на первом участке: 0 ≤ z ≤ 2 м M(z) = RA * z M1 (0) = – 0кНм M1 (2) = 23,26кНм – на втором участке: 2 ≤ z ≤ 5,2 м M(z) = RA * z – F * (z – a) M2 (2) = 23,26кНм M2 (5,2) = – 3,53кНм – на третьем участке: 5,2 ≤ z ≤ 8,2 м M(z) = RA * z – F * (z – a) – M M3 (5,2) = – 10,53кНм M3 (8,2) = – 35,64кНм – на четвертом участке: 8,2 ≤ z ≤ 10 м M(z) = RA * z – F * (z – a) – M + RD * (z – l – c ) – q * (z – l – c )2/2 M4 (8,2) = – 35,64кНм M4 (10) = 0кНм Максимальный момент в балке составляет Mmax = 35,64 кНм По этому значению подбираем сечение балки. Минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле Wmin = Mmax / [σ] Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа Wmin = 35640 / 160 = 222,75 см3 Из сортамента выбираем двутавр № 22 с моментом сопротивления W =232 см3 и площадью А=30,6 см2.
Задача 4 На рисунке 4 показаны 10 схем зубчатых передач. Входное колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость 1 и постоянное угловое ускорение 1, направленное по движению или против движения. Определить: передаточное отношение между входным и выходным звеньями и его знак (если их оси вращения параллельны); угловую скорость и угловое ускорение выходного звена, их направления показать на схеме передачи; время, в течение которого угловая скорость увеличится в два раза (если движение ускоренное) или уменьшится до нуля (если движение замедленное); общий коэффициент полезного действия передачи. В таблицах 4.1 4.10 заданных величин z – число зубьев колес приводится с индексом, соответствующим их номеру на схеме механизма, для червяка z – число заходов, а направление витков червяка указано буквами: л – левое, п – правое. Для расчетов принять следующие значения КПД (учитывающего потери и в зацеплении, и в подшипниках): для пары цилиндрических колес ц = 0,97; для пары конических колес к = 0,95; для планетарной передачи с внешними зацеплениями ее колес п = 0,95, а для имеющей внутреннее зацепление одной из пар п = 0,96; для червячной передачи при одно, двух и трехзаходном червяке – соответственно ч = 0,7; 0,75; 0,8. Для решения задачи нужно определить, из каких видов передач состоит заданное сложное соединение зубчатых колес, уметь находить планетарную передачу с ее характерными звеньями – водилом и сателлитами, разделять передачи на плоские и пространственные (с непараллельными осями вращения). Нужно понимать, когда направления вращения можно определять по алгебраическим знакам передаточного отношения, а когда для этого необходимо применять простановку стрелок на схеме. Очень важны показанные направления угловой скорости и углового ускорения – по ним определяют характер движения (ускоренное, замедленное). Таблица 4.5 – Исходные данные для расчета механизма по схеме 5 (см. рисунок 4)
ТЕОРИЯ. Данная передача состоит из рядных зубчатых и дифференциальной передач. Передаточное отношение рядной зубчатой передачи находится как произведение передаточных отношений входящих в нее ступеней (причем передаточное отношение передачи внешнего зацепления отрицательно, внутреннего – положительно. Для дифференциальной части редуктора составляется формула Виллиса (останавливается водило). Далее составляются уравнения связи. Решая совместно эти уравнения находят передаточное отношение планетарного редуктора, и другие искомые величины. Решение.
Передаточное отношение рядной зубчатой передач.
где k = 3 – количество колес с внешним зацеплением. Передаточное отношение планетарной ступени (четырехзвенный планетарный механизм типа Давида с внешним зацеплением). Передаточное отношение от колеса 8 к водилу Н при остановленном 6 звене: i_8H^((6) )=1-i_86^((H) ) где i_86^((H) )=(Z_6∙〖Z`〗_7)/(Z_7∙Z_8 ) При Z8 = 30; Z`7 = 31; Z7 = 30; Z6 = 31 i_86^((H) )=(31∙31)/(30∙30)=961/900=1,0678 и i_8H^((6) )=1-961/900=-0,0678 Передаточное отношение планетарного механизма от водила к выходному звену при остановленном 6 звене: i_H8^((6) )=1/(i_86^((6) ) )=1/(-0,0678)=-14,754 Отрицательная величина передаточного отношения означает вращение колеса 8 в противоположном направлении относительно водила Н.
Общее передаточное отношение механизма:
= 43,889 КПД (учитывающий потери и в зацеплении, и в подшипниках): для пары цилиндрических колес ц = 0,97; для планетарной передачи с внешними зацеплениями ее колес п = 0,95. Общий КПД передачи: = ц4 • п = 0,974 • 0,95 = 0,745 угловая скорость и угловое ускорение выходного звена: так как передаточное отношение в общем виде для зубчатых передач
Угловая скорость выходного звена 8 рад/с Угловое ускорение выходного звена рад/с2 При равномерно замедленном движении угловая скорость
время, в течение которого угловая скорость уменьшится до нуля так как движение замедленное (угловая скорость и угловое ускорение направлены в противоположные стороны) величина угловой скорости вала выходного звена падает пропорционально времени
