Задача №1. Записать выражение импульсной характеристики линейной дискретной нерекурсивной системы третьего порядка. Решение: y(n)=b_0 x(n)+b_1 x(n-1)+b_2 x(n-2)+b_3 x(n-3),n≥0. Согласно определению «импульсная характеристика» – это реакция на цифровой единичный импульс (рис. 1), поэтому, выполнив замену x(n) →u0(n) y(n)→h(n) перепишем исходное уравнение в виде:
Задача №2. Вычислить линейную свертку двух дискретных последовательностей, где h(n)={-1;-1;-1;1;1;-1;1} импульсная характеристика цифровой системы, x(n)={-1;-1;-1;1;1;-1;1}. Построить график свертки. Решение: Формула свёртки:
Задача №3. Показать, что разностное уравнение y(n)=x(n)+y(n-1), c начальным условием y(-1)=0 и x(n)={1;2}, где x(n) входная последовательность, описывает отклик cумматора y(n)=∑_(k=-∞)^n▒〖x(k)〗. Решение:
Следовательно, y(n)=∑_(k=-∞)^n▒〖x(k)={1,3} 〗
Задача №4. Вычислить амплитудный и фазовый спектры (дискретизированное по времени преобразование Фурье) последовательности {x(n) }=〖{a〗^n U(n)}, где U(n)={█(1,n≥0,@0,n<0.)},a=0,5.Построить графики этих спектров как функции нормированной частоты w ̂ в диапазоне 0≤w ̂≤2π, где w ̂=w/f_d =2πf/f_d , а w и f – циклическая и линейная частоты, f_d- частота дискретизации. Решение: Исходная последовательность:
График модуля
График фазы
Задача №5. Вычислить элементы системы дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) и записать систему в виде матрицы V размером N×N,N=3. Матрицу представить в алгебраической и экспоненциальной форме. Решение: Для N=3 матрица V имеет вид:
Задача №6. Выполнить прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности x(n)={-1;-1;-1;1;1;-1;1}. Восстановить исходную последовательность через вычисление обратного ДПФ последовательности коэффициентов дискретного преобразования Фурье X(k). Решение: , k=0,1,…,N-1; , n=0,1,…,N-1. Выражение для вычисления называется прямым преобразованием (ДПФ), а для вычисления - обратным (ОДПФ). Коэффициент (постоянная составляющая) равен сумме всех отсчетных значений сигнала:
Задача №7. Дана последовательность x(n)={-1;-1;-1;1;1;-1;1;2}. Применить быстрое преобразование Фурье (БПФ) для вычисления коэффициентов ДПФ. Показать, что алгоритм БПФ можно применять для восстановления x(n) по коэффициентам ДПФ используемым в качестве исходного массива данных. Оценить вычислительную сложность алгоритма БПФ. Решение: Сигнал состоит из 8-х отсчетов во временной области. Применяя уравнение ДПФ, получаем:
Разобьем эту сумму на две при n = (0, 2, 4, 6) и (1, 3, 5, 7). Получим выражение:
Раскрывая суммы, запишем
Два различных поворачивающих множителя можно связать с помощью определения:
Тогда формула примет вид:
Полученное выражение для 8-точечного БПФ не слишком сложно, но по мере возрастания количества точек увеличивается его сложность. Чтобы упростить выражение, его обычно изображают в другом виде. Представим в виде графа алгоритм БПФ с прореживанием по времени основанный на разбиении — объединении при Рисунок - Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени при N=8
Задача №8. Заданы последовательности x(n)={-1;-1;-1;1;1;-1;1;2} и h(n)={-1;-1;-1;1;1;-1;1;2}. Вычислить циклическую дискретную свертку последовательностей с помощью ДПФ. Построить график свертки Решение: Использование ДПФ для вычисления свертки основано на том, что ДПФ свертки последовательностей есть покомпонентное произведение ДПФ соответствующих последовательностей. Вычислим ДПФ последовательностей: , k=0..N-1;
Далее производится поочередное умножение элементов первой последовательности с элементами второй последовательности и просуммировать полученные значения. После производится обратное преобразование по формуле обратного преобразования, в результате которого получаем свертку, рассчитанную с помощью ДПФ.
, n=0,1..7.
Задача №9. Вычислить ядро (матрицу) C дискретного косинусного преобразования (ДКП) размером N×N,N=3. Матрицу представить в тригонометрической и числовой форме. Решение: Матрица С для вычисления дискретно-косинусного преобразования выглядит следующим образом
Задача №10. Выполнить прямое ДКП X(k) последовательности x(n)={13;15;17}. Изобразить график функции X(k). Восстановить исходную последовательность через вычисление обратного ДКП последовательности коэффициентов дискретного косинусного преобразования X(k). Решение:
Задача №11. Вычислить двумерное ДКП массива данных X размером N×N,N=4. Восстановить исходный массив, выполнив двумерное обратное дискретное косинусное преобразование (ОДКП), если X=[■(28&27&22&23@25&22&18&19@26&23&20&21@19&21&19&18)]. Решение: Матрица ДКП 4×4:
Двумерное ДКП массива данных
Обратное ДКП:
Задача №12. Вычислить среднеквадратичную ошибку восстановления исходных данных (задача 11) при обнулении 25% наименьших по значениям коэффициентов преобразования ДКП и последующем выполнении ОДКП над полученным массивом. Решение: Обнулим 4 наименьших значений матрицы С:
Обратное ДКП:
Среднеквадратичная ошибка восстановления исходных данных:
Список литературы:
1. Теория прикладного кодирования: Учеб. пособие. В 2 т. В.К. Конопелько, А.И. Митюхин и др.; Под ред. проф. В.К. Конопелько. – Мн.: БГУИР, 2004. 2. Овсянников В.А. Методы формирования и цифровой обработки сигналов. Учебное пособие для студентов специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» в 2-ух частях. ‒Мн.: БГУИР 2010. 3. Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки: Учебное пособие для вузов. – Мн: Вышэйшая школа, 1990. 4. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников: Пер. с англ. ‒ М.: Додека-XXI, 2008. 5. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход: Пер. с англ. ‒ М.: Издательский дом «Вильямс», 2008. 6. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. ‒ М.: Техносфера, 2005. 7. Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ. ‒ М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
