1 Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра систем телекоммуникаций КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Направляющие системы телекоммуникаций» Вариант 311 Минск 2011г. 2 ВАРИАНТ 311 Задача №1 Определить первичные и вторичные параметры передачи симметричного кабеля. Найти также их составляющие: R0 – сопротивление по постоянному току; Rп.э – сопротивление за счёт поверхностного эффекта; Rбл – сопротивление за счёт эффекта близости; Lмп – межпроводниковую индуктивность; Lвп – внутрипроводниковую индуктивность; αм – затухание за счёт потерь в металле; αд – затухание за счёт потерь в диэлектрике. Параметры кабеля представлены в таблице 1. Таблица 1. Изоляция Толщина изоляции, мм εэф Частота f, кГц tgδ·10-4 Скрутка Расчетный диаметр Материал проводника Диаметр проводника, мм Полиэтиленовая 0,32 1,9…2,1 10 2 Парная dп 1,71· d1 Медь 0,32 Решение: Первичными параметрами симметричного кабеля являются: R – активное сопротивление симметричной кабельной цепи переменному току; L – индуктивность цепи; С – ёмкость кабельной цепи; G – проводимость изоляции кабельной цепи. Уравнение для расчёта сопротивления симметричного кабеля имеет вид ([1], 5.64]): R = Rп.т + Rп.э + Rбл (1.1) где Rп.т = 2R0 – сопротивление постоянному току; Rп.э = 2R0F(kr) – сопротивление за счёт поверхностного эффекта; Rбл = 2R0 ( )( ) ( )( ) сопротивление за счёт эффекта близости; R0 – активное сопротивление проводника; χ – коэффициент укрутки проводов кабеля; k – коэффициент потерь для металла; r – радиус голого проводника; р – коэффициент, учитывающий вид скрутки (при парной скрутке р=1); F(kr), G(kr), H(kr) - специальные функции, полученные с использованием видоизменённых функций Бесселя; d – диаметр голого проводника; а – расстояние между центрами проводников. Сопротивление прямого провода определим по формуле ([2], 1.4]): R0 = , 3 где ρ = 0,0175 – удельное сопротивление меди при t=20°C. Тогда R0 = = 217,6 (Ом) Коэффициент укрутки проводов кабеля характеризует удлинение жил относительно длины кабеля. Так как структура кабеля не определена условием задачи в полной мере, выберем повивную систему скрутки групп в сердечник кабеля, в центральном повиве – 1 группа. Будем рассматривать симметричную кабельную цепь, расположенную в третьем повиве. Диаметр изолированного проводника равен: d1 = d + 2Δ = 0,32 + 2 · 0,32 = 0,96 (мм) Диаметр центрального повива определим по формуле: D0 = 2d1 = 2 · 0,96 = 1,92 (мм) Средняя толщина повива равна: dп = 1,71 · d1 = 1,71 · 0,96 = 1,64 (мм) Рассчитаем параметры цепи, находящейся в третьем повиве. Определим средний диаметр третьего повива: D3 = D0 + 3dп = 1,92 + 3 · 1,64 = 6,84 (мм) Коэффициент укрутки проводов кабеля определяется выражением ([2], 1.1): χ = √ ( ) где h – шаг скрутки. Его величина обычно составляет 100…300 мм. Выберем h = 200 мм. Тогда: χ = √ ( ) = √ ( ) = 1,0057 Теперь рассчитаем сопротивление цепи кабеля постоянному току ([2], 1.2): Rп.т = 2R0··1,0057 ( ) Коэффициент вихревых токов определим по формуле: k = √ , где ω = 2 f = 2 · 3,14 · 104 = 6,28 · 104 ( ) μа = μ0 · μr – абсолютная магнитная проницаемость; μ0 = 4 · 10-4 – магнитная проницаемость вакуума; μr = 1 – относительная магнитная проницаемость проводника (для медных и алюминиевых проводов μr = 1); σ = 57,00 · 10-3 – удельная проводимость меди. 4 Тогда: k = √ = √ = √ = 2,12 (мм-1) Рассчитаем коэффициент kr (произведение коэффициента вихревых токов на радиус голого проводника): kr = k = 2,12 = 0,339. С помощью таблицы ([1], 5.1]) найдем значения специальных функций F(kr), G(kr), H(kr): F(kr) = 0,0002, G(kr) = 0,0006, H(kr) = 0,042, Q(kr) = 0,99999. Определим сопротивление за счет поверхностного эффекта: Rп.э = 2R0F(kr) = Rп.т F(kr) = ( ) Определим сопротивление за счет эффекта близости: Rбл = 2R0 ( )( ) ( )( ) Rп.т· ( )( ) ( )( ) 437,5· ( ) ( ) 0,029( ) где а = d + 2Δ = 0,32 + 2 · 0,32 = 0,96 (мм) – расстояние между проводниками. Сопротивление кабельной цепи переменному току равно (1.1): R = Rп.т + Rп.э + Rбл = 437,5 + 0,0875 + 0,029 = 437,6 ( ). Индуктивность цепи в целом определяется суммой внешней (межпроводниковой) Lмп и внутренней (внутрипроводниковой) Lвп = 2Lа индуктивностей: L = Lмп + Lвп = Lмп + 2Lа (1.2) Межпроводниковая индуктивность определяется выражением ([2], 1.7]): Lмп = ( ) ( ) 6,4 10-4 ( ) Внутрипроводниковая индуктивность равна: Lвп = μr Q(kr) 10-4 = 1 0,9999 10-4 = 9,99 10-5 ( ) Общая индуктивность симметричной кабельной цепи равна (1.2): L = Lмп + Lвп = 6,4 10-4 + 9,99 10-5 = 7,39 10-4 ( ). Емкость симметричной кабельной цепи с учетом близости соседних пар определяется выражением ([1], 5.68]): С = ( ) ( ), 5 где εэф = 1,35 – эффективная диэлектрическая проницаемость изоляции; Ψп – поправочный коэффициент, характеризующий близость соседних пар: Ψп = ( ) ( ) ( ) ( ) = 0,699. Подставляя данные значения, получаем: С = = 2,62 10-8 ( ) Проводимость изоляции G характеризует потери энергии в изоляции проводов кабеля. Величина проводимости определяется выражением ([1], 5.69]): G = G0 + Gf = + Сtg, ( ) где G0 – проводимость изоляции по постоянному току, Gf – проводимость изоляции по переменному току, С – емкость симметричной цепи, tg - тангенс угла диэлектрических потерь. Для кабельных симметричных цепей величина G0 = очень мала по сравнению с Gf, и ей можно пренебречь. Тогда: G Сtg = 6,28 · 104 2,62 10-8 2 10-4 = 3,29 10-7 ( ) Вторичные параметры симметричной цепи являются: Zв – волновое сопротивление; – коэффициент затухания; – коэффициент фазы; V – скорость распространения энергии. Волновое сопротивление определяется по формуле ([1], стр. 171]): Zв = √ ( ) = √ ( ) = 165,25 ( ). Коэффициент затухания равен сумме двух составляющих ([1], стр. 171]): = м + д, где м – коэффициент затухания в металле, д – коэффициент затухания в диэлектрике. м = 0,5 R √ = 218,8 √ = 1,3 ( ) д = 0,5 G √ = 1,65 10-7 √ = 2,77 10-5 ( ) 6 Суммарный коэффициент затухания: = м + д = 1,3 + 2,77 10-5 = 1,3 ( ) Коэффициент фазы определяет угол поворота вектора тока на протяжении одного километра и на низких частотах определяется: = 2 f √ = 6,28 · 104 √ = 0,28 ( ) Скорость распространения электромагнитной энергии является функцией частоты и фазовой постоянно, которая в свою очередь зависит от первичных параметров линии. В общем виде она определяется по формуле: V = √ = √ = 2,27 105 ( ). 7 Задача 2 Определить первичные и вторичные параметры передачи коаксиального кабеля. Параметры кабеля представлены в таблице 2. Таблица 2. Изоляция εэф Частота f, МГц tgδ·10-4 Материал проводника Диаметры внутреннего и внешнего проводников, мм Балонно- полиэтиленовая 1,22 1 0,5 Медь/медь 2,6/9,5 Решение. При расчёте на частотах более 60 кГц сопротивление коаксиального кабеля в основном определяется суммой сопротивлений внутреннего проводника Ra и внешнего проводника Rb и определяется по формуле ([1], 5.29): R = Ra + Rb = 4,18 √ ( ) 10-2, где ra = da/2 = 1,3 (мм) rb = db/2 = 4,75 (мм) R = Ra + Rb = 4,18 √ ( ) 10-2 = 4,18 √ ( ) 10-2 = 40,97 ( ). Индуктивность коаксиального кабеля состоит из суммы внутренней индуктивности внутреннего проводника La и внешнего проводника Lb и наружной межпроводниковой индуктивности L . На низких частотах определяется по упрощённой формуле ([1], 5.32): L = La + Lb + Lмп = [ √ ( ) ] 10-4 = 2,65 10-4 ( ). Значение ёмкости коаксиальной пары определим по формуле: С = ( ) = ( ) = 5,24 10-8 ( ). Расчёт проводимости проводим по формуле ([1], 5.36) при допущении, что сопротивление изоляции постоянному току бесконечно большое. Тогда G Сtg = 2 f С tg = 2 3,14 1 106 5,24 10-8 0,5 10-4 = 1,6 10-5 ( ). При расчётах вторичных параметров учтём, что коаксиальные кабели практически используются на частотах более 60 кГц, где R<<ωL и G<<ωC, поэтому вторичные параметры обычно рассчитываются по упрощённым формулам. При работе на частоте от 2 МГц для среды с μr=1 волновое сопротивление можно определить из выражения ([1], 5.41) Zв = √ = √ = 71,1 (Ом). 8 Коэффициент затухания [1], 5.37: м = √ 8,69 = √ 8,69 = 2,5 ( ) Потери в диэлектрике равны: д = √ 8,69 = 4,94 10-3 ( ) Суммарные потери в кабеле равны: = м + д = 2,5 + 4,94 10-3 = 2,5 ( ) Коэффициент фазы определяет угол сдвига между током (или напряжением) на протяжении одного километра = 2 f √ = 6,28 · 104 √ = 23,4 ( ) В области высоких частот, скорость распространения энергии практически не зависит от частоты и определяется по формуле [1], 5.39: V = √ = √ = 2,68 105 ( ). 9 Задача 3 Определить параметры передачи: критическую частоту, критическую длину волны, волновое сопротивление, затухание, фазовую и групповую скорости, коэффициент фазы цилиндрического волновода с параметрами, приведёнными в таблице 3. Таблица 3. Диаметр волновода, см Вид моды Частота f, ГГц Материал проводника 107, 7 Е01 24 Медь 5,7 Решение. Критическая длина волны определяется выражением ([1], 5.101) 0 = , где рmn – корни, при которых функции Бесселя имеют нулевые значения; m – индекс, указывающий на принадлежность корня к функции Бесселя порядка m; n – порядковый номер корня; a – радиус волновода. Для типа волны Е01 значение p01=2,405. Тогда 0 = = = = 9,14 (см) = 0,091 (м) Критическая частота равна: f0 = = = 3,28 109 (Гц) где с = 3105 ( ) – скорость света в вакууме. Циклическая частота равна: = 2f = 2 3,14 24 109 = 1,51 1011 ( ) Считая, что волновод заполнен воздухом (r = 1, εr = 1) волновое число среды распространения равно k = √ = √ = 1,511011√ = 1,511011√ = ·108 = 502,65 Коэффициент фазы равен ([1], 5.101) = k √ ( ) Обозначим h = √ ( ) = √ ( ) = 0,99. 10 Тогда = k √ ( ) = k h = 502,65 · 0,99 = 497,93 ( ) Фазовая скорость определяется по выражению ([1], 5.103) Vф = √ ( ) = = = 3,03 105 ( ) Групповая скорость определяется по выражению ([1], 5.104) Vгр = с √ ( ) = сh = 3105 0,99 = 2,97 105 ( ) Волновое сопротивление заполняющего волновод диэлектрика равно: Zа = √ = √ = √ = 376,99 (Ом) Волновое сопротивление для волны Е-типа определим по выражению ([1], 5.105) = Zа √ ( ) = Zа h = 376,99 · 0,99 = 373,2 (Ом) Активная часть волнового сопротивления металла стенок волновода равна: Zм.а = √ = √ = 0,04 (Ом) Коэффициент затухания для волны Е-типа равен ([1], 5.106) E = √ ( ) 8,67 = 8,67 = 9 10-4 ( ) 11 Задача 4 Определить параметры передачи: числовую апертуру, критическую частоту и длину волны, волновое сопротивление, нормированную частоту, количество мод, затухание (собственное), дисперсию, фазовую скорость для волоконного световода с параметрами, приведёнными в таблице 4. Таблица 4. Диаметр сечения, мкм Вид моды Длина волны , мкм Длина кабеля l, км Показатель преломления сердцевины n1 Показатель преломления оболочки n2 Кр, дБ/км (мкм)4 tg 10-4 Тип волоконного светодиода 54 Е01 1,53 17 1,5 1,47 1,1 1 Градиентный Решение. Режим работы световода характеризуется обобщённым параметром V, который называется нормированной (характеристической) частотой ([1], 5.92) V = √ = √ = √ = 33,07. Числовая апертура определяется выражением ([1], 5.88) NA = √ = √ = 0,298. Для градиентного профиля число передаваемых мод, согласно ([1], 5.95), равно N = = = 546,8 Критическая частота равна f0 = √ где Рmn – корень бесселевой функции, характеризующий тип волны. Для волны Е01 Рmn=2,405. Тогда f0 = √ = √ = 1,43 107 ( ) Критическая длина волны равна λ0 = = = 20,98 (мкм) Коэффициент затухания световодных трактов оптических кабелей α обусловлен собственными потерями в волоконных световодах αс и дополнительными потерями, так называемыми кабельными αк, вызванными скруткой, а также деформацией и изгибами α = αс + αк Собственные потери волоконных световодов состоят в первую очередь из потерь поглощения энергии в диэлектрике αп и потерь рассеяния её на мельчайших частицах световодной структуры αр αс = αп + αр 12 Найдём потери энергии на поглощение (формула [1], 5.96) αп = 8,69 · tgδ = 8,69 · 1 10-4 = 2,68 106 ( ) В таком световоде сигнал будет поглощаться практически полностью. У реальных световодов тангенс угла диэлектрических потерь имеет гораздо более меньшее значение. Примем tgδ = 1·10-11. Тогда αп = 8,69 · · tgδ = 8,69 · · 1·10-11 = 0,268 ( ) Потери на рассеяние, называемое рэлеевским, определяются по формуле [1], 5.97 αр = = = 0,200 ( ) Суммарное затухание в световоде равно α = αп + αр = 0,268 + 0,200 = 0,468 ( ) Дисперсия τ – это рассеяние во времени спектральных или модовых составляющих оптического сигнала, приводящее к уширению импульса на приёме. Результирующе значение уширения импульсов за счёт модовой (τмод), материальной (τмат) и волноводной (τвв) дисперсий определяется формулой τ = √ ( ) . С учётом реального соотношения вкладов отдельных видов дисперсий имеем для многомодовых волокон τ = τмод , а для одномодовых τ = τмат + τвв. Так как наш световод является многомодовым, то применим формулу [1], 5.98 τ = τмод = ( ) l = ( ) 17 103 = 1,66 · 10-8 (с) = 16,6 (нс) Фазовая скорость изменяется в пределах < Vф < , или 2108 ( )< Vф < 2,04108 ( ). Волновое сопротивление находится в пределах < Vф < , или 251,3 (Ом) < Vф < 256,5 (Ом). где Z0 = 377,0(Ом) – волновое сопротивление свободного пространства. 13 Задача № 5 Определить параметры передачи: волновое сопротивление, коэффициент затухания, скорость распространения для несимметричной микрополосковой линии передачи с учетом дисперсии и без учета дисперсии. Полосковые проводники изготовлены из меди. Исходные данные представлены в табл. 5. Таблица 5 Параметры и характеристики микрополосковой линии Ширина полоскового проводника w, мм Толщина подложки h, мм tg Материал подложки εr Частота f, ГГц 0,25 1,4 4 10-4 Поликор 9,6 0,5 Решение: Для выбора расчетных формул, обеспечивающих минимальные погрешности вычислений, определим отношение ширины проводника к толщине подложки: = = 0,179 Произведем расчет параметров передачи без учета дисперсии. 1. Волновое сопротивлении линии при < 1 определяется выражением [4] 2.69 с погрешностью не более 1%: Zв = √ ( ) · [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] Zв = √ ( ) · [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] = 94,08 Ом. 2. Для определения фазовой скорости волны найдем значение εэф0 по формуле [4] 2.73: εэф0 = ( ) √ = ( ) √ = 1,272 3. Фазовая скорость волны без учета дисперсии определяется выражением: Vф = √ = √ = 2,66 108 ( ) 4. Общие потери микрополосковой линии определяется выражением [4] 2.38: Потери в диэлектрике определяются приближенным выражением [4] 2.77: αд = 91· √ · f · tg = 91· √ · 0,5 · 4 10-4 = 0,056 ( ) 14 Потери в металле при 0,16 < < 2 определяются приближенным выражением [4] 2.79: αм = Определим вспомогательные величины, входящие в выражение для αд: Для меди по табл. [4] 1.6: q = 1 r = √ = √ = 7,516 10-3 Толщину полоски принимаем равной t = 0,03 10-3 м. s = 1– ( ) = 1– ( ) = 0,998 p = 1+ = 1+ = 6,6 l1 = p+ ( ( ) ) = p+ ( ( ) ) = 14,648 Потери в металле составляют: αм = = = 0,89 ( ) Полный коэффициент затухания равен: = 0,056 + 0,89 = 0,946 ( ) Определим параметры передачи с учетом дисперсии. Для этого найдем значения вспомогательных величин в соответствии с [4] 2.74: fω = 3,5 + = 3,5 + = 30,728 ГГц εэф = [ ( ) ( ) √ ] · εr = [ ( ) ( ) √ ] · 9,6 = 1,27 Определим волновое сопротивление линии. Для этого найдем значение вспомогательной величины в соответствии с [4] 2.61: Z в = 60 · ( ( ) ) = 60 · ( ( ) ) = 228,192 Ом Волновое сопротивление линии равно: Zв = √ = √ = 202,488 Ом Фазовая скорость волны с учетом дисперсии: Vф = √ = √ = 2,66 108 ( ) 15 Определим потери в микрополосковой линии. Для этого определим вспомогательные величины: А = √ = √ = 7,55 tgэф = ( ) ( ) = ( ) ( ) = 4,349 10-3 Затухание в диэлектрике в соответствии с выражением [4] 2.77: αд = 91· √ · f · tgэф = 91· √ · 0,5 · 4,349 10-3 = 0,223 ( ) Потери в металле определяются выражением [4] 2.79: αм = где r = √ = √ = 2,954 10-3 Остальные вспомогательные параметры определены выше. Затухание в металле равно: αм = = = 0,352 ( ) Полный коэффициент затухания равен: = 0,223 + 0,352 = 0,575 ( ) 16 ЛИТЕРАТУРА 1. Гроднев И.И., Верник С.М. “Линии связи.” – М.: Радио и связь, 1988 – 538 с. 2. Ксенофонтов С.Н., Портнов Э.Л. “Направляющие системы электросвязи” – М.: Горячая линия- Телеком, 2004 – 268 с. 3. Гроднев И.И., Ларин Ю.Т., Теумин И.И. “Оптические кабели” – М.: Энергоиздат, 1991. -174 с. 4. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств/С.И.Бахарев, В.И.Вольман, Ю.Н.Либ и др.; под ред. В.И.Вольмана. – М.: Радио и связь, 1982 – 328 с.
