Вариант 14. Задание 1. На вход АЦП системы передачи непрерывных сообщений поступает случайный первичный сигнал, мощность которого и ширина спектра . Плотность распределения сигнала – треугольная. Среднее значение случайного сигнала равно нулю. Случайный сигнал в АЦП подвергается дискретизации, а его выборки – линейному преобразованию. Преобразованные выборки квантуются и кодируются. Число уровней квантования для всех вариантов равно 256. Обработка сигнала – корреляционная. Определить: 1. Интервал дискретизации; 2. Интервал квантования; 3. Мощность шума квантования; 4. Отношение мощности первичного сигнала к мощности шума квантования в Дб; 5. Производительность дискретного источника (на выходе квантователя); 6. Скорость цифрового потока на выходе квантователя; 7. Вероятности появления символов двоичных слов на выходе АЦП; 8. Скорость цифрового потока на выходе АЦП; 9. Избыточность источника дискретных сообщений; 10. Вероятность реализации выборки, значение которой равно ; 11. Дифференциальную энтропию или её оценку через энтропию квантованной выборки.
Случайный процесс в АЦП дискретизируется и преобразуется в двоичные числа. Шкала квантования линейная с числом уровней L=256. Процесс взятия выборок называется дискретизацией. Выборки берутся через одинаковые интервалы времени. При дискретизации получают выборочные значения из непрерывного аналогового сигнала. Интервал дискретизации выбирается в соответствии с теоремой Котельникова. Согласно этой теореме, дискретизация не приводит к искажениям, если Δt≤1/2F, где F − верхняя граничная частота спектра сигнала. Интервал дискретизации рассчитывается по формуле (1.1).
Для треугольной плотности , , где − постоянная величина, :
Из условия нормирования определим :
, ,
Интервал квантования определяется формулой (1.2). Чем меньше шаг квантования, тем ближе к исходному восстанавливается сигнал. Плотность распределения сигнала подчиняется треугольному закону.
Под шумом квантования понимают совокупность разностей между отсчетными значениями первичного сигнала (сообщения) b(kΔt) и ближайшими к этим значениям уровнями квантования bД(kΔt), k=0,1,2,3…
Средняя мощность шума квантования определяется формулой (1.4).
При L>>1 принято считать, что шум квантования распределен по равномерному закону в интервале от до . Отношение мощности первичного сигнала к мощности шума квантования рассчитывается по формуле (1.5).
Энтропия дискретного источника, отнесённая к среднему времени передачи одного символа T, называется производительностью источника дискретных сообщений.
− среднее количество информации, которая содержится в возможных символах на выходе источника дискретных сообщений, рассчитывается по формуле (1.7). Величина называется энтропией дискретного источника.
Скорость цифрового потока передачи информации равна количеству взаимной информации, делённому на среднее время передачи одного символа. Скорость цифрового потока на выходе квантователя определяется выражением (1.9).
Энтропия, приходящаяся на один элемент двоичной кодовой последовательности, определяется формулой (1.10), где − длина кодового слова при кодировании.
Вероятности появления символов двоичных кодовых слов на выходе АЦП можно получить, решая уравнение (2.11). Причём p(0)+p(1)=1.
Скорость цифрового потока передачи информации на выходе АЦП определяется формулой (1.12).
Избыточность источника дискретных сообщений
Вероятность реализации выборки, значение которой равно :
Дифференциальная энтропия источника непрерывных сообщений позволяет оценить среднее количество информации, которое содержится в непрерывных сообщениях или непрерывных сигналах.
Дифференциальная энтропия гауссовской случайной величины не зависит от её среднего значения и возрастает с ростом дисперсии.
Задание 2. Двоичные слова с выхода АЦП преобразуются в линейные сигналы. Носитель 1-ой ступени модуляции – М-последовательность. Носитель 2-ой ступени модуляции – гармонический сигнал, известный точно. Модуляция носителя – по форме. Период последовательности –31. Длина блока – 4. Символы кода последовательности: -1, 1. Определить: 1. Математическое выражение канального сигнала. 2. Структурную схему формирователя канального сигнала, включающую: для вариантов с М-последовательностью – генератор синхроимпульсов, генератор шумоподобного сигнала, устройство для получения циклических сдвигов, АЦП, модуляторы 1-й и 2-й ступеней; В вариантах с М-последовательностью и модуляцией ШС по форме привести структурную схему генератора последовательности и структурную схему устройства для получения необходимого числа циклических сдвигов этой М-последовательности. 3. Привести описание работы формирователя канального сигнала и временные, спектральные диаграммы, поясняющие его работу. В описании дайте характеристику синхросигналов (на какой блок поступают и какую функцию выполняют). Приведите основные параметры: длительность и период повторения. Дайте краткую характеристику работы генераторов шумоподобных сигналов и модуляторов 1-й и 2-й ступени, увязывая её с построенными временными и спектральными диаграммами. Рассчитать: a) энергию, мощность, ширину спектра модулирующего сигнала; b) энергию, мощность, автокорреляционную функцию сигнала на выходе 1-ой ступени модуляции, длину этого сигнала и его базу. Для множества радиоимпульсов дискретного ЧМ сигнала и множества кодированных сигналов, из которого формируется ШС, модулированный по форме, найти расстояние между всеми парами этих множеств.
М-последовательности формируются регистрами сдвига с обратной связью. Генератор М-последовательностей формирует на выходах последовательности нулей и единиц. На рис. 2.1 приведена схема генератора ШПС, кодированного М-последовательностью. Генератор содержит регистр сдвига с обратными связями и сумматор по модулю два. Положение управляемого переключателя (7) определяется двоичным числом блока с выхода источника дискретного сообщения. Импульсы с выхода тактового генератора определяют длительность единичного интервала ШПС, а также длительность единичного интервала двоичных кодовых комбинаций на выходе источника дискретных сообщений. В модуляторе производится модуляция косинусоидальной несущей шумоподобными сигналами. До подачи тактовых импульсов (ТИ) в регистр сдвига было записано число 00011. С поступлением 1-го ТИ в 1-ую ячейку запишется «1», т. к. сумма по модулю два третьего и пятого регистров равна 1. Во 2-ю ячейку перейдет цифра 0, ранее содержащаяся в 1-й ячейке. Соответственно в 3-ю, 4-ю и 5-ю ячейки запишутся цифры, ранее содержащиеся во 2-ой, 3-ей и 4-ой ячейках, т. е. 0, 0, 1. Состояния ячеек приведены в таблице. Номер ТИ Состояния ячеек регистра сдвига 1 2 3 4 5 - 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 3 0 1 1 0 0 4 1 0 1 1 0 5 1 1 0 1 1 6 1 1 1 0 1 7 0 1 1 1 0 С поступлением последующих ТИ процесс смены состояния ячеек продолжится. В результате на их выходах будет генерироваться ШПС, кодированный циклически сдвинутыми М-последовательностями. При непрерывном поступлении тактовых импульсов ШПС периодически повторяется через время, равное , где – период М-последовательности, определяемый числом разрядов к регистров сдвига (к=5 для заданной М-последовательности), – длительность периода тактовых импульсов. Для кодирования различных блоков модуляция по форме предполагает использование отличающихся последовательностей. Исходя из длины блока k=4 определим количество применяемых М-последовательностей (равно числу блоков) n=2k=16
Запишем наш модулирующий сигнал как b(t)=sin(wt) и время
Тогда энергия модулирующего сигнала будет равна
А его мощность равняется:
Выберем частоту ГСИТ такой, чтобы в пределах tи умещалось несколько периодов высокой частоты
Поясним работу схемы на рис. 2.2 временными диаграммами (рис. 2.3). Ширина спектра видеосигнала, состоящего из прямоугольных импульсов, определяется длительностью этих импульсов (учитываем положительные частоты) - на выходе АЦП, - на выходе модулятора. При преобразовании сигнала в модуляторе 2-й ступени его спектральная плотность переносится из области нижних в область высоких частот без искажений спектральных составляющих. Ширина спектра модулированного сигнала при этом увеличивается в два раза
Произведение длительности на ширину спектра называется базой сигнала. N – длина кодового слова. Для данного сигнала база численно равна количеству импульсов в пачке М-последовательности.
Рис. 2.4.Спектральные диаграммы, поясняющие работу модулятора
Задание 3. При передаче линейного сигнала по линии связи с шириной полосы 66 МГц на этот сигнал накладывается нормальный шум. Мощность шума для всех вариантов равна 0,1 . Мощность сигнала на входе приемника . Ширина полосы шума во много раз больше ширины полосы сигнала. 1. Выбрать и изобразить структурную схему оптимального приемника для заданного варианта канального сигнала. Привести описание работы приемника, временные и спектральные диаграммы, поясняющие работу этого приёмника. 2. Вычислить уровни порогов в соответствующих вариантах приемников. 3. Определить вероятность ошибки, которая определяет потенциальную помехоустойчивость оптимального приёмника. 4. Определить и описать математическую модель дискретного канала. привести ненаправленный граф, соответствующий сигналам на его входе и выходе и рассчитанной вероятности ошибки оптимального приёмника. Определить ширину полосы пропускания дискретного канала. Привести название дискретного канала. 5. По исходным данным определить среду распространения и по этой среде определить название канала. Вычислить ширину полосы пропускания этого канала.
Под синтезом оптимального приёмника понимают отыскание его структуры. Задача синтеза: найти структуру приёмника, которая удовлетворяет исходным условиям и ограничениям и при этом обеспечивает совокупность показателей качества, наилучших в смысле заданного критерия оптимальности. Математический синтез заключается в математической формулировки совокупности исходных данных и критерия оптимальности, а также в отыскании чисто математическим путем такой структуры приёмника, которая удовлетворяет исходным данным, критерию оптимальности и требуемой совокупностей показателей качества. В качестве критерия оптимальности выберем критерий максимума отношения правдоподобия, записанного в виде неравенства (3.1), причем .
Помеха является нормальным белым шумом со спектральной плотностью N0. Канал связи является дискретно-непрерывным. Время анализа сигнала и шума равно длительности единичного интервала . Используя описание n-мерной плотности распределения вероятности белого шума N(t) и математическое описание непрерывного и дискретно-непрерывного каналов связи, перепишем неравенство (3.1). Все М-последовательности при приёма сигнала известны точно, поэтому при распространении на N=31 различных сигнала критерий оптимальности приёмника запишем в виде:
где , z(t) – смесь сигнала и шума, поступающих на вход приемника, ui(t) – полезный сигнал, соответствующий передаче i-го блока, Ei – энергия сигнала ui(t). Так как все сигналы ui(t) (i=0, 2, …, 31) имеют одинаковую энергию, то неравенство (3.2) перепишем в виде
или
Интеграл выражения (3.4) описывает работу корреляционной схемы, но ввиду тождественности корреляционной и фильтровой обработки может быть реализован фильтровым способом. Структура оптимального приемника, которая определяется уравнением (3.4) содержит: m корреляторов, вычисляющих корреляционные интегралы; решающее устройство, в котором результаты вычислений сравниваются между собой. По коррелятору, на выходе которого фиксируется наибольшее значение корреляционного интеграла, определяется сигнал, присутствующий на входе и совпадающий с опорным сигналом этого коррелятора. Структура оптимального приёмника приведена на рис. 3.1. Временные диаграммы, поясняющие работу схемы, приведены на рис. 3.2, спектральные диаграммы приведены на рис. 3.3.
Рис. 3.1. Структурная схема оптимального приемника m сигналов, известных точно: 1,2,3 – перемножители, 4,5,6 – интеграторы, 7 – решающее устройство
Рис. 3.2. Временные диаграммы, поясняющие работу приёмника
Рис. 3.3. Спектральные диаграммы, поясняющие работу приёмника
Значение порога, необходимое для работы решающего устройства, определяется из выражений (3.3) и (3.4) и равно:
Рассчитаем амплитуду сигнала:
Определим величину энергии последовательности:
Рассчитаем спектральную плотность мощности шума
Определим параметр обнаружения h:
Тогда вероятность ошибки когерентного приёма последовательности определяется по формуле
- функция Крампа
Спектральные диаграммы приведены на рис. 3.3. На первом рисунке изображены спектральные диаграмма полезного сигнала и шума. На втором – спектральная диаграмма выходного сигнала приёмника.
Рассмотрим математическую модель m-ичного канала связи. Математическая модель канала связи, необходимая для проведения исследований, считается заданной, если известны оператор преобразования, а также условия и ограничения, накладываемые как на канал, так и на входные и выходные сигналы. Математическая модель реального канала связи является достаточно сложной. Это объясняется следующими причинами: Оператор L, кроме линейных, содержит также нелинейные и параметрические преобразования. В канале присутствуют помехи. Входной сигнал может быть случайным. Часто сложная математическая модель не позволяет найти решение поставленной задачи. Поэтому пользуются упрощенными моделями. В них используют представление канала в виде последовательно соединенных четырехполюсников. Полезным является также выделение из канала его дискретной, непрерывной и дискретно непрерывных частей. Для дискретного m-ичного канала связи сигналы на его входе и выходе являются дискретными. Математическая модель этого канала определяется: а) алфавитом кодовых символов на входе и на выходе ; б) априорными вероятностями появления символов на входе канала; в) вероятностями перехода Р(bj/ai), которые определяют вероятность того, что при передаче символа ai на выходе канала появится символ bj. Если интересоваться скоростью передачи информации по каналу, то следует также задать число символов, подаваемых в среднем в единицу времени на вход канала. Однако эта характеристика рассматриваться не будет. Совместная вероятность подачи символа ai на вход и появление символа bj на выходе:
Вероятность того, что на вход подан символ ai при условии, что на выходе появится символ bj (апостериорная вероятность):
Дискретный канал называется однородным (стационарным) и без памяти, если вероятности переходов для каждой пары i, j не меняются во времени и не зависят от того, какие символы передавались ранее. Если эти вероятности зависят от времени, канал называется неоднородным (нестационарным); если же они зависят от символов, переданных ранее, то канал называется каналом с памятью. Если в однородном дискретном канале алфавиты на входе и выходе одинаковы (m=n) и для любой пары i≠j вероятности , а для пары i=j , то такой канал называется симметричным каналом без стирания. Если объем алфавита символов на выходе канала n превышает объем алфавита входных символов m, канал называют каналом со стиранием. Для любой модели дискретного канала можно записать, пользуясь сложением в дискретном векторном пространстве (поразрядным, по модулю основания кода m): B[k]=A[k]+E[k], где A[k] и B[k] – случайные последовательности (кодовые комбинации) из k символов на входе и выходе канала; E[k] – случайный вектор ошибки, который в общем случае зависит от A[k]. Различные модели отличаются распределением вероятностей вектора E[k]. При двоичном кодировании (m=2) компоненты (разряды) вектора ошибки принимают значение 0 и 1. Всякая 1 в векторе ошибки означает, что в соответствующем месте передаваемой последовательности символ принят ошибочно, а 0 означает безошибочный прием. Число ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом. Он равен расстоянию по Хеммингу d(B[k],A[k]) между переданной и принятой кодовыми последовательностями. Если вероятность Р(bj/ai) не зависит от времени, то такой канал называют однородным. В симметричном однородном канале без памяти алфавит кодовых символов на входе совпадает с алфавитом на выходе, а вероятности перехода определяются равенствами (3.8).
Любой символ ai может перейти в другой символ bj с равной вероятностью p/m-1.Эти переходы определяют вероятность ошибка р. Кроме того, любой символ ai может с вероятностью (1-р) перейти в символ bi, то есть, принят правильно. Для двоичного симметричного канала m=2 и вероятности перехода определяются равенствами (3.9).
Вероятности перехода (3.9) схематично показаны на рис.(3.4).
Рис.3.4. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале.
Вероятность перехода нуля в нуль равна 1-р, а нуля в единицу равна р. Соответственно, вероятность перехода 1 в 1 равна 1-р, а вероятность перехода 1 в нуль равна р.
Задание 4 1. Вычислить производительность источника непрерывных сообщений. 2. Вычислить скорость передачи информации по дискретному каналу. 3. Вычислить пропускную способность дискретного канала. 4. Рассчитать число дискретных каналов, возможных для заданных исходных данных, а также пропускную способность многоканальной системы связи. 5. Вычислить частотную и энергетическую эффективности дискретного канала связи и сравнить эти характеристики с характеристикой идеальной системы связи. 6. Нарисовать структурную схему системы передачи непрерывных сообщений цифровым методом. Привести описание работы системы.
-энтропия первичного сигнала определяется формулой 4.1, где — отношение сигнал/шум.
При расчете производительности источника непрерывных сообщений мощность помехи на выходе системы рекомендуется вычислять для заданной линейной шкалы квантования по формуле:
где рош – вероятность ошибки при передаче двоичной информации по каналу связи, - интервал квантования, n – число разрядов двоичных кодовых слов на выходе АЦП.
Для процессов, ограниченных по спектру и мощности, пропускная способность определяется формулой Шеннона (4.3), где F – ширина полосы канала, равная ширине спектра передаваемого сигнала.
Из формулы видно, что пропускная способность непрерывного канала связи растет с ростом ширины полосы канала F и отношением сигнал/шум. Значит, заданная пропускная способность может быть достигнута либо изменением ширины полосы, либо изменением отношения сигнал/шум.
Система связи является многоканальной, если она обеспечивает передачу нескольких сообщений по одной общей линии связи. Многоканальная передача сообщений позволяет приблизить скорость передачи информации к пропускной способности линии связи, которая намного больше производительности источника сообщений. Очевидно, что суммарная производительность нескольких независимых источников должна быть меньше пропускной способности линии С.
Ширина полосы линии связи равна F0=66 МГц. Максимальное количество каналов, организуемых при использовании данной линии связи равно:
Рисунок 4.1 - Структурная схема цифровой системы передачи непрерывных сообщений Под эффективностью понимают некоторую функцию показателей качества, которая характеризует систему связи с технической точки зрения. Энергетическая эффективность определяет эффективность использования энергии сигнала.
Частотная эффективность – эффективность использования полосы канала:
– коэффициент использования пропускной способности. В идеальной системе связи сколь угодно близка к единице при сколь угодно малой вероятности ошибки. Частотная эффективность изменяется в пределах от 0 до ∞, а энергетическая эффективность от - ∞ до 1/ln2.
Максимальное значение энергетической эффективности:
Рисунок 4.2 – Временные диаграммы, поясняющие работу цифровой системы связи Цифровые методы передачи обладают, по сравнению с аналоговыми (непрерывными) методами передачи, более высокой помехоустойчивостью. Для согласования непрерывного источника сообщений с дискретным каналом связи на передающей стороне введен аналого-цифровой преобразователь сигнала, а для согласования дискретного канала связи с получателем непрерывного сообщения на приемной стороне введен цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Преобразование непрерывного сообщения с помощью АЦП в двоичный код называется импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ). Сигнал ИКМ поступает на передатчик. В приемнике двоичные кодовые комбинации после демодуляции и регенерации поступают на ЦАП, где преобразуются вначале в квантованные отсчеты, которые затем пропускаются через фильтр нижних частот для получения непрерывного сообщения.
Литература 1.Клюев Л.Л. Теория электрической связи.- Мн.: Дизайн ПРО,1998, 336с. 2.Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М., Теория передачи сигналов.-М.: Радио и связь,1986,304с. 3.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы.-М.: Высшая школа,1988,448с. 4. Кловский Д.Д., ШилкинВ.А. Теория электрической связи.- М.: Радио и связь,1990,208с. 5.Заездный А.М. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.: Связь,1969,447с. 6. Алексеев А.И., Шереметьев А.Г., Тузов Г.И., Глазов Б. И. Теория и применение псевдослучайных сигналов. – М.: Наука,1969.
