№ Тип системы Характеристики задающего воздействия МГц; МГц/сек; МГц/сек2 Спектральная плотность шума МГц2/Гц 18 ФАПЧ N; 2N2-1; 2N2+10 2N N = 18 номер по журналу Задание 1 Исследовать назначение, области применения и особенности построения систем автоподстройки частоты АПЧ (или фазовой автоподстройки частоты - ФАПЧ). Нарисовать и пояснить функциональную схему системы автоподстройки частоты. Составить дифференциальные уравнения, описывающие работу системы. Получить эквивалентную структурную схему системы автоподстройки частоты.
Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) применяются в радиоприемных устройствах, перестраиваемых по частоте генераторах высокостабильных колебаний и других устройствах. Функциональная схема системы ФАПЧ показана на рисунке 1.
Рисунок 1 – Функциональная схема ФАПЧ. Система стабилизирует частоту подстраиваемого генератора (ПГ) по сигналу с высокостабильного эталонного генератора (ЭГ). Объектом управления в системе ФАПЧ является ПГ частота колебаний (или фаза) напряжения которого изменяется в зависимости от напряжения, вырабатываемого управляющим элементом (УЭ), при этом напряжение ПГ остается неизменным. Частота напряжения ПГ является выходным сигналом системы ФАПЧ. На систему действует напряжение от эталонного генератора с частотой ωэ, этот сигнал является управляющим воздействием. Измерителем рассогласования является фазовый детектор (ФД), выходной сигнал которого является нелинейной периодической функцией разности фаз сигналов, подаваемых от ЭГ и ПГ. Сигнал с ФД через фильтр нижних частот (ФНЧ) подается на УЭ, который перестраивает частоту ПГ, приближая ее к частоте ЭГ. В установившемся режиме в системе устанавливается постоянная разность фаз между напряжениями uэ и uг, при этом напряжение на выходе ФД также будет постоянным, в результате чего частота сигнала с ПГ окажется равной частоте сигнала с ЭГ.
Начальное рассогласование частот от ЭГ и ПГ ∆ωн = ωа – ωгн, (1.1) где ωгн – начальная частота сигнала ПГ.
После включения системы ФАПЧ частота сигнала ПГ ωг = ωгн + ωгу. (1.2) Составляющая ωгу возникает из-за перестройки частоты ПГ и определяется выражением ωгу = kг∙kуэ∙uфд = kг∙kуэ∙F(φ)∙kд, (1.3) где kг – коэффициент передачи ПГ по частоте; kуэ – коэффициент передачи УЭ; kд – коэффициент, равный максимальному напряжению на выходе ФД; φ – разность фаз напряжений ЭГ и ПГ. Для простоты принято, что ФНЧ отсутствует и напряжение с ФД подается на УЭ. ωуд = kг∙kуэ∙kд, (1.4) Величина ωуд имеющая размерность круговой частоты, определяет максимальное допустимое начальное рассогласование частот ∆ωн, которое может быть скомпенсировано в системе ФАПЧ, эту величину называют полосой удержания системы. Частота сигнала оказывается равной ωг = ωгн + ωуд∙F(φ). (1.5)
Разность фаз сигналов с ЭГ и ПГ определяется выражением φ = φ0 + , (1.6) где φ0 – начальное значение разности фаз. Из последнего следует, что φ = ωа – ωг. (1.7) В установившемся режиме разность фаз φ – постоянная величина, поэтому частота сигнала ПГ равна частоте сигнала ЭГ, т.е. ошибка стабилизации частоты сигнала ПГ равна нулю. Подставив в выражение (7) формулу (5) получим нелинейное дифференциальное уравнение для системы ФАПЧ: φ + ωуд∙F(φ) = ∆ωн. (1.8) Это уравнение является основным дифференциальным уравнением системы ФАПЧ; из него следует, что в любой момент времени алгебраическая сумма разности частот ωэ – ωг и расстройки является постоянной величиной, равной начальному рассогласованию частот сигналов ЭГ и ПГ. Уравнениям (1.1) – (1.7) соответствует структурная схема системы ФАПЧ, изображенная на рисунке 2.
Рисунок 2 – Структурная схема ФАПЧ. Блок позволяет выполнить операцию интегрирования, соответствующую выражению (1.6), возмущение n(t) учитывает влияние на качество работы системы флуктуационной составляющей напряжения, а воздействие δωг – влияние нестабильности частоты ПГ. Задание 2
Изложить методики оценки точности (динамические и флуктуационные ошибки), быстродействия и устойчивости статических и астатических систем (первый и второй порядок астатизма). Определить оптимальные значения параметров динамических звеньев систем по критериям устойчивости и точности (минимуму квадрата суммы динамической и флуктуационной ошибок) для астатической системы, и системы с первым и вторым порядком астатизма. Запас устойчивости для системы второго порядка астатизма должен составлять 60 градусов. Задающие воздействия: постоянное для астатической системы, линейное – для системы первого порядка астатизма, квадратичное – для системы второго порядка астатизма. Входной шум – белый с заданной спектральной плотностью.
Системы РА подразделяются на статические и астатические. В статических системах ошибка в установившемся режиме не равна, а в астатическом равна нулю.
Рисунок 3 – График ошибки в установившемся режиме 1 – в статических системах, 2 – в астатических системах Так же точность работы систем РА характеризуется динамическими и переходными ошибками. Динамическая ошибка – ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на неё нестационарного сигнала. Переходная ошибка – ошибка при работе системы в переходном процессе, который возникает при отработке начального рассогласования. Динамическая точность работы систем РА определяется при медленно изменяющихся входных сигналах воздействия, число производных от которых ограничено. Гармонический сигнал не является медленно изменяющимся, так как число производных от него равно бесконечности. Переходные процессы в системах РА затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достигается установившийся динамический режим работы системы. В соответствии с определением передаточной функции ошибки преобразование Лапласа для ошибки системы Е(р) = Wе(р)∙Х(р) = [C0 + C1p + C2 +…+ Ск∙рk]∙Х(р) (2.1) или в области действительного переменного e(t) = C0∙x(t) + C1∙x(t) + C2∙x(t) + … + Сk∙x(k)(t) (2.2) Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал х(t) является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффициентов Сi, которые называются коэффициентами ошибки, известны три способа. Первым способом эти коэффициенты вычисляются по формуле Ck = k! We(p)|p=0. (2.3) Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путем деления числителя передаточной функции ошибки на её знаменатель. Наиболее удобным является третий способ. Передаточную функцию ошибки представим в виде We(p) = . (2.4) Перемножив полином знаменателя последнего выражения на (2.1), получим [anpn+an-1pn-1 + … + a1p + a0][C0+C1p+ C2p +…+ Сkpk] = = bnpn+bn-1pn-1 +… + b1p+b0. (2.5) Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р слева и справа определим формулы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок. В результате найдем, что
С0 = ; С1 = [b1 – a1∙C0]; С2 = [b2 – a2∙C0 – a1∙C1]. Из выражения (2.2) следует, что коэффициенты ошибок имеют размерность сi. В инженерных расчетах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы: Wр(p) = . (2.6) В таблице 1 приведены формулы для расчета первых трех коэффициентов ошибок статических и астатических систем РА через параметры передаточной функции.
Таблица 1 – Формулы расчета ошибок v Ci Формулы для расчета 0 С0
С1 К
С2 2
1 С0 0 С1
С2
2 С0 0 С1 0 С2
Первое слагаемое в выражении (2.2) называют ошибкой по положению, а коэффициент С0 – коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое – ошибкой по скорости, а коэффициент С1 – коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (2.2) называют ошибкой по ускорению, а коэффициент С2 – коэффициентом ошибки по ускорению. Учитывая особенности передаточных функций астатических систем РА, нетрудно установить, что в таких системах v первых коэффициентов ошибок равны нулю, где v – порядок астатизма РА. При анализе качества работы систем РА помимо вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гармонического сигнала неограниченно. Очевидно, что при этом для расчета ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По АЧХ ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки относительно входного сигнала.
Определение оптимальных значений параметров динамических звеньев систем по критериям устойчивости и точности для астатической системы, и системы с первым и вторым порядком астатизма.
Исходные данные Задающие воздействия Постоянное (для статической системы) Линейное (для системы первого порядка астатизма) Квадратичное (для системы второго порядка астатизма) Входной шум – белый Параметр х(t) = α0t х(t) = α1∙1(t) х(t) = α2t2∙1(t) Спектр.плотность Значение α0 = N = 18 МГц α1 = 2N2 – 1 = 647 МГц/с α2 = 2N2 + 10 = 658 МГц/с2 N0 = 2N = 36 МГц2/МГц
Оптимизация параметров следящих систем. Для решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему, описать воздействия и возмущения, выбрать критерий оптимизации и метод. Обобщенная структурная схема оптимизируемой системы представлена на рисунке 2.1. При использовании функционально необходимых элементов получить заданную передаточную функцию статической системы невозможно (из-за наличия интегратора в передаточной функции дискриминатора). Поэтому рассмотрим оптимизацию астатических систем первого и второго порядка астатизма.
Рисунок 2.1 – Структурная схема оптимизируемой системы.
В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки: Q = ех2(t)+Dev = min (2.1) где ех(t) – динамическая ошибка в системе; Dev – дисперсия ошибки по возмущающему воздействию.
2.1 Системы ФАПЧ статическими быть не могут.
2.2 Астатическая система первого порядка. Оптимизируем параметр К1 в астатической системе первого порядка в которой задающее воздействие х(t) – детерминированная функция, а возмущение – случайный процесс v(t). Определяем ПФ разомкнутой системы в простейшем виде: Wр(р) = WД(р)∙Wф(р)∙WУГ(р) = где К1 = КД∙Кф∙КУГ – коэффициент усиления системы;
Инерционностью всех функционально-необходимых элементов пренебрегаем. Исходные данные х(t) = α1∙1(t); Nv(ω) = N0 = const. Необходимо определить К1 по критерию (2.1)
I) Определяем динамическую ошибку системы Определяем ПФ замкнутой системы Wз(р) = = = . Определяем ПФ ошибки по задающему воздействию Wех(р) = 1 – Wз(р) = 1 – = . Находим изображение ошибки управления. Так как воздействием является линейная функция х(t) = α1∙1(t) с изображением х(р) = α1∙ , то изображение ошибки управления ех2(р) = х(р)∙ Wех(р) = ∙ . Находим установившееся значение ошибки в соответствии с теоремой о конечном значении функции: ех уст = (рх(р)∙ Wех(р)) = (p∙ ∙ ) = . II) Определяем дисперсию ошибки по возмущающему воздействию. Определяем ПФ системы по ошибке от возмущающего воздействия Wех(р) = – Wз(р) = – . Величина Dev находится интегрированием Dev = I[Wеv(р)∙ Wфх(р)]. ПФ формирующего фильтра возмущения v(t): Wфv(р) = . Находим дисперсию ошибки, воспользовавшись табличным значением интеграла Парсеваля: Dev(Т) = N0∙К12∙I1∙ = N0∙К12 = ∙К1. Критерий качества примет вид Q = + ∙К1. Определим оптимальное значение коэффициента усиления системы К1опт из условия Q при естественном ограничении К1>0. Приравняем производную дисперсию ошибки по оптимизируемому параметру к нулю: = + = 0 Получим К1опт = = = 415,8 с-1 Для рассчитанной величины К1опт величина среднеквадратической ошибки составит σ = = = 91,6 Гц Определим условия устойчивости исследуемой системы и значения коэффициента передачи системы, при которых система будет устойчива.
Запишем характеристическое уравнение 1 + Wp(p) = 0. На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица-Рауса требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, т.е. требуется выполнение неравенства К1>0, откуда следует значение критического коэффициента усиления системы К1 крит = ∞. При этом физическая реализация такой системы оказывается невозможной из-за наличия инерционных элементов в реальных системах.
2.3 Астатическая система второго порядка.
Оптимизируем параметры К2 и Т2 в астатической системе второго порядка (рис. 2.1), в которой задающее воздействие х(t) – детерминированная функция, а возмущение – случайный процесс v(t). Определим ПФ разомкнутой системы в простейшем виде: Wр(р) = WД(р)∙Wф(р)∙WУГ(р) = , где К1 = КД∙Кф∙КУГ – коэффициент усиления системы; Т2 = Тф, инерционностью остальных элементов пренебрегаем.
Исходные данные х(t) = α12∙1(t); Nv(ω) = N0 = const. Необходимо определить К2 и Т2 по критерию (2.1)
I) Определим динамическую ошибку системы Определим ПФ замкнутой системы Wз(р) = = = .
Определим ПФ ошибки по задающему воздействию Wех(р) = 1 – Wз(р) = 1 – = . Находим изображение ошибки управления. Так как воздействием является линейная функция х(t) = α2t2∙1(t) с изображением х(р) = 2α2∙ , то изображение ошибки управления ех2(р) = х(р)∙ Wех(р) = ∙ . Находим установившееся значение ошибки в соответствии с теоремой о конечном значении функции: ех уст = рх(р)∙ Wех(р) = p∙ ∙ = . II) Определяем дисперсию ошибки по возмущающему воздействию. Определяем ПФ системы по ошибке от возмущающего воздействия Wех(р) = – Wз(р) = – . Величина Dev находится интегрированием Dev = I[Wеv(р)∙ Wфх(р)]. ПФ формирующего фильтра возмущения v(t): Wфv(р) = . Находим дисперсию ошибки, воспользовавшись табличным значением интеграла Парсеваля: Dev(Т) = N0∙К22∙I2∙ = N0∙К22 = ∙ . Критерий качества примет вид Q = + ∙ . Определим оптимальное значение коэффициента усиления системы К2опт из условия Q при естественном ограничении К2>0, Т2>0. Приравняем производную дисперсию ошибки по оптимизируемому параметру к нулю: = + T2 = 0; = ∙ = 0. Из второго уравнения находим Т2опт = При этом первое уравнение преобразуется к виду: –16α22 + К23Т2оптN0 = 0→ К23 N0 = 16α22. Откуда находим оптимальное значение коэффициента преобразования: К2опт = = = 129,9с-2 Оптимальное значение параметра Т2 опт Т2опт = = = 0,088 с Определим условия устойчивости исследуемой системы и значения коэффициента передачи системы, при которых система будет устойчива. Запишем характеристическое уравнение 1 + Wp(p) = 0; р2+К2Т2р+К2 = 0 Составляем из коэффициентов характеристического уравнения матрицу Гурвица: . В соответствии с критерием устойчивости Гурвица для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны. Раскрывая определители, получим следующие условия устойчивости: К2 > 0; К2Т2 > 0. Дополнительным требованием задания является величина запаса устойчивости для системы второго порядка астатизма, которая должна составлять 60 градусов. Находим выражение для построения логарифмических частотных характеристик 1) Находим комплексную частотную характеристику разомкнутой системы: Wр(jω) = . 2) Находим амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы А(ω) = | Wр(jω)| = . Логарифмируя полученное выражение, находим ЛАЧХ: L(ω) = 20lg А(ω) = 20lgК2+20lg – 40lgω. График ЛАЧХ системы при К2 = К2опт и Т2 = Т2 опт представлены на рис 2.2 3) Находим фазочастотную характеристику разомкнутой системы φ(ω) = argWр(jω) = arctg(ωТ2) – π. График ЛФЧХ исследуемой системы представлен на рисунке 2.3. Из графиков определяем запас устойчивости по фазе ∆φ(ωср) = 19,1o. Чтобы величина запаса устойчивости для системы второго порядка астатизма составила 60o, увеличим значение постоянной времени фильтра Т2опт = 0,096. Для заданных величин К2опт и Т2 величина среднеквадратической ошибки составит: σ = = = 184,7 Гц
ГРАФИКИ
Рисунок 2.2 Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.
Рисунок 2.3Логарифмическая фазо-частотная характеристика. Построение выполнено в MathCad 15. Задание 3 Имитационное моделирование системы автоподстройки частоты по эквивалентной структурной схеме в среде моделирования MatLab. В подразделе визуального программирования Simulink набирается эквивалентная структурная схема системы автоматической подстройки частоты и для заданных исходных данных, использованных для расчетов в пункте 2, проверяются длительность переходного процесса, уровень динамических и флуктуационных ошибок, которые должны соответствовать расчетным значениям. Последовательно моделируются астатическая система и системы с первым и вторым порядком астатизма. При исследовании быстродействия, динамических ошибок и флуктуационных ошибок получение соответствующих характеристик обеспечивается последовательно без их наложения в одном эксперименте.
Система с астатизмом первого порядка.
Рисунок 3.1 – Система с астатизмом первого порядка
Рисунок 3.2 – График переходного процесса в системе с астатизмом первого порядка. Среднеквадратическое значение ошибки в системе, вычисленное блоком RMS, зафиксировано на дисплее (91,6). Оно соответствует расчетному значению. Система с астатизмом второго порядка.
Рисунок 3.3 – Система с астатизмом второго порядка.
Рисунок 3.4 – График переходного процесса в системе с астатизмом второго порядка. Среднеквадратическое значение ошибки в системе, вычисленное блоком RMS, зафиксировано на дисплее (184,7). Оно соответствует расчетному значению.
Рисунок 3.5 – График переходного процесса в системе с астатизмом второго порядка.(Значение уровня шума равно 36МГц2/МГц)
Литература:
1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». М.: Высш.шк.,1990 2. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1982. 3. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов./ Под ред. В.А. Бесекерского. – М.: Высш. шк., 1985. 4. Артемьев В.М. Справочное пособие по методам исследования радиоэлектронных следящих систем. – Мн.: Выш. шк., 1984.
