План 1. Образование сложных суждений. 2. Установление логического значения сложных суждений при помощи таблиц истинности.
Сложные суждения – суждения, состоящие из нескольких простых суждений, связанных между собой логическими союзами. Именно по ним определяют вид и логические характеристики, условия истинности сложного суждения. Построение таблиц истинности проходит через построение логических функций и имеет параллели с математическими функциями. То есть простому суждению присваивается переменная, которая может принимать только два значения: логическая единица (1 – истина) или логический нуль (0 – ложь). Всего существует пять логических союзов: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Из перечисленных союзов унарным является отрицание (инверсия) "не", "неверно, что". Оно символически изображается знаком "" и имеет таблицу истинности: p p Ложно, если исходное отрицание истинно. Истинно, если исходное отрицание ложно.
и л л и
При составлении через логическую функцию таблица истинности для инверсии будет иметь вид: А не А Функция вычитания: F=|А – 1| (по модулю) 1 0 0 1
Логика выделяет четыре вида сложного суждения с бинарными (парными) союзами: соединительный союз (конъюнкция) "и", "а", "но", "да" и т.п.; разделительный союз (дизъюнкция) "или", "либо" и т.п.; условный союз (импликация) "если.., то"; союз эквивалентности, тождественности (эквивалентность) "если и только если.., то", "тогда и только тогда, когда".
Соединительный вид (конъюнкция) Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью соединительного союза («а», «но», «да», «и» и др.), который символически изображается знаком "&". Например: "Сегодня воскресенье, и мы едем за город". Это конъюнктивное суждение можно записать в виде формулы: (S есть Р) и (S есть Р), или p&q. Разновидность конъюнктивного суждения: •Суждение со сложным субъектом: S1, S 2, S 3 есть Р Например: «Описание, сравнение, характеристика являются основными видами неявных определений» •Суждение со сложным предикатом: Sесть Р1и Р2 Например: «БГУИР – знания и стиль жизни» •Суждение со сложным субъектом и предикатом: S1, S 2, S 3 есть Р1и Р2 Например: «Инженеры, программисты, экономисты являются выпускниками нашего ВУЗа и сотрудниками многих предприятий » Конъюнкция может выражать: ▫Одновременность «Закончилась лекция и прозвенел звонок» ▫Последовательность «Студент прослушал лекцию, написал курсовую работу и защитил её» ▫Перечисление «Реферат, курсовая работа, диплом – являются видами студенческих научных работ» ▫Расположенность «Корпус приёмной комиссии БГУИР находился справа, а корпус заочного отделения - слева» Поскольку простое суждение по природе своей может быть либо истинным, либо ложным, то основные зависимости сложного конъюнктивного суждения будут определяться его логическим союзом. Эти зависимости легко обнаруживаются в разработанных логикой так называемых "таблицах истинности" для логических союзов. Для конъюнкции таблица истинности такова: p q p&q Конъюнкция: Истинна только в одном случае - когда все входящие в него простые суждения являются истинными.
Ложна, если ложен хотя бы один из её членов. и и и л и л и л л л л л При составлении через логическую функцию таблица истинности для конъюнкции будет иметь вид: А B F Функция умножения: F=A*B 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
Разъединительный вид (дизъюнкция) Два или более простых суждения могут образовывать сложное и с помощью разделительного логического союза («либо…либо», «или» и др). С его помощью можно образовать, например, такое сложное разделительное суждение: "Леса на территории нашей страны являются лиственными или хвойными или смешанными". Это суждение записывается в виде формулы: (S есть Р) v (S есть Р), или pvq . В логике различают два значения разделительного (дизъюнктивного) союза: •разделительно-соединительный (слабая дизъюнкция) pvq Например: «Каждый студент знает фамилию ректора БГУИР или хотя бы название своего факультета» •строго разделительный союз (строгая, или сильная дизъюнкция). pvq Дизъюнкция может выражать: ▫Выбор «То ли занятия, то ли перерыв» ▫Альтернативу «Допуском к экзамену послужит либо заданная контрольная работа, либо тестирование» Слабая дизъюнкция не запрещает, не исключает одновременную истинность простых суждений, входящих в это сложное. Таким образом, приведенное суждение: "Леса бывают лиственными или хвойными или смешанными" являет собой образец слабой дизъюнкции: в данном случае союз "или" не только разъединяет, но и соединяет, допуская наличие перечисленных трех признаков у одного и того же леса. Затосильная (строгая) дизъюнкция исключает одновременную истинность простыхсуждений, входящих в сложное. Так, в суждении "Данное животное есть волк или медведь" союз "или" выполняет строго разделительную роль; одновременно данное животное тем и другим быть не может.
Для слабой дизъюнкции, таблица истинности такова: p q p v q Слабая дизъюнкция: Истинна, когда истинен хотя бы один из членов дизъюнкции.
Ложна, когда все её члены - ложны. и и и л и и и л и л л л
При составлении через логическую функцию таблица истинности для слабой дизъюнкции будет иметь вид: A B F Функция сложения: F= А + B (при условии, A+B≠0, значит F=1)
1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Для сильной дизъюнкции, таблица истинности такова: p q p vq Сильная дизъюнкция : Истиннатолько при разных логических значениях членов дизъюнкции.
Ложна при одинаковых логических значениях. и и л л и и и л и л л л
При составлении через логическую функцию таблица истинности для сильной дизъюнкции будет иметь вид: A B F Функция вычитания: F=|А – B| (по модулю) 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Эквивалентный вид (эквиваленция) Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью взаимообусловливающего (тождественного) союза («если и только если», «тогда и только тогда»), который символически изображается знаком «≡». Этот союз формирует сложное суждение, по истинностной своей характеристике противоположное суждению строгой дизъюнкции. Дело в том, что и этот союз дает сложное суждение, истинное только в двух случаях, когда либо все входящие в сложное простые суждения являются истинными, либо все являются ложными. Например, "Треугольники имеют равные углы тогда и только тогда, когда и стороны их равны", или "Если и только если углы треугольника равны, то и стороны его тоже равны". Это суждение записывается в виде формулы: (S есть Р) ≡ (S есть Р), или p≡q . Например: «Стать студентом БГУИР можно тогда и только тогда, когда ….»
Таблица истинности для эквиваленции: p q p ≡ q Эквиваленция : (суждения равнозначные) Истинна при равных логических значениях членов.
Ложна при разных логических значениях. и и и и л л л и л л л и При составлении через логическую функцию таблица истинности для эквиваленции будет иметь вид: A B F Функция вычитания: F=│|А – B| -1 │ (по модулю) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Условный вид (импликация) Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью условного союза («если…, то», «когда…, тогда» и др.), который символически изображается знаком "→". Это суждение можно записать в виде формулы: (S есть Р) → (S есть Р), или p→q . Например: «Если вы выполнили контрольную работу до звонка, то вы можете сдать её раньше».
Образованное таким образом сложное условное суждение состоит из двух элементов: •антецедент (основание) (простое суждение, которое заключено между союзом "если" и частицей "то") •консеквент (следствие)(простое суждение, следующее после частицы "то").
Импликация может выражать: ▫Причинно-следственную связь «Если лампу выключить из сети, то она погаснет» ▫Обоснование «Поскольку вывод в лабораторной работе не сделан, постольку работа не считается зачтённой» Таблица истинности для импликации: p q p →q Импликация: (суждения равнозначные) Ложна, если антецедент – истенен, а консеквент – ложен. (причина возникла, а следствие не наступает)
Истинна во всех остальных случаях!
и и и и л л л и и л л и При составлении через логическую функцию таблица истинности для импликации будет иметь вид: A B F Функция вычитания: F=|А – 1| +B (по модулю), (при условии, |А – 1| +B ≠0, значит F=1)
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Традиционная формальная логика рассматривает структуру сложных суждений, как такую мыслительную конструкцию, элементы которой связаны между собой по смыслу. Правда, она не делает отношения между сложными суждениями предметом своего обстоятельного исследования. Можно в качестве исключения говорить лишь о рассматриваемых традиционной логикой отношениях и связях между условным и разделительным суждениями, но традиционная логика рассматривает их в качестве элементов более сложной формы мысли — умозаключения, как условно-разделительный силлогизм. Отношения между четырьмя видами сложных суждений - предмет современной формальной (математической, или символической) логики. Она анализирует и устанавливает закономерные зависимости между сложными суждениями и даже имеет целый список так называемых формул равносильностей, когда сложные суждения с одним логическим союзом по своему истинностному значению тождественны другим сложным суждениям с другими логическими союзами. То есть речь идет о взаимозаменяемости логических союзов. Так, эквивалентность может быть выражена импликацией, импликация - дизъюнкцией, дизъюнкция - конъюнкцией, и наоборот. Например: (p&q) равносильно «не-(p → не-q)» и равносильно «не-(не-p v не-q)»; (pv q) равносильно не-(не-p& не-q); (p→q) равносильно (не-pvq); (p≡q) равносильно ((не- pvq) & (не-pv q)). Сложное суждение может не только состоять из нескольких простых суждений, но и включать в себя несколько логических связок : (p&q)→p. Чтобы установить истинность такого суждения, необходимо установить главный логический союз, указывающий на вид суждения, и построить соответствующую таблицу истинности.
Сложные логические выражения Сложные логические выражения складываются из нескольких сложных суждений, связанных с помощью логических операций. При составлении данных таблиц истинности необходимо учитывать последовательность: 1)инверсия 2)конъюнкция 3)дизъюнкция 4)импликация 5)эквивалентность. Для изменения указанного порядка используют скобки! Существует также определённый алгоритм составления таких таблиц: 1. Определить количество строк, которое будет в таблице. Для этого применяется функция: 2 n + 2 ,где n – количество простых высказываний. 2. Определить количество столбцов, которое будет в таблице. Для этого применяется функция: k + n, где k – количество разных логических операций, входящих в сложное высказывание. 3. Заполнить первые n столбцов. 4. Заполнить остальные столбцы. В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого.
Упражнения 1. Установите вид следующих сложных суждений и определите их истинность при помощи таблиц истинности: 1.1. Редакция вправе увеличить или уменьшить размер гонорара. • Разъединительное сложное суждение • Дизъюнкция сильная (т.к. одновременно увеличить и уменьшить гонорар невозможно) • Выражает: выбор • Структура: pvq !Сильная дизъюнкция истинна только при разных логических значениях Предположим, что первая часть суждения истинна, значит, вторая ложна. и л и
Выражение ИНСТИННО
1.2. Банан – пищевое растение и источник доходов для экспортирующих стран. 2. Соединительное сложное суждение 3. Конъюнкция со сложным предикатом 4. Выражает: одновременность 5. Структура: p&q !Конъюнкция ложна, если ложен хотя бы один из её членов Банан – это не пищевое растение. Значит, ложна первая часть суждения. л и л
Выражение ЛОЖНО
1.3. Он сейчас находится в Минске или в Петербурге. • Разъединительное сложное суждение • Дизъюнкция сильная (т.к. одновременно увеличить и уменьшить гонорар невозможно) • Выражает: альтернативу • Структура: pvq !Сильная дизъюнкция истинна только при разных логических значениях Предположим, что первая часть суждения истинна, значит, вторая - ложна, т.к. он не может одновременно находиться в разных городах. и л и
Выражение ИНСТИННО
1.4. Кукушка хвалит петуха за то, что хвалит он кукушку. • Равнозначное сложное суждение • Эквиваленция • Структура: p ≡ q • Выражение истинно при равных логических значениях членов. и и и
Выражение ИНСТИННО
1.5. Если к двум прибавить два, то получится четыре. • Условное сложное суждение • Импликация • Выражает: причинно-следственную связь • Структура: p→q !Истинно во всех случаях, кроме одного, когда антецедент – истенен, а консеквент – ложен, т.е. в случае, если причина возникла, а следствие не наступает и и и
2. Постройте таблицу истинности для следующего выражения: (p(pvq)). Составим две таблицы: Если дизъюнкция является сильной или является слабой. Это сложное логическое выражение, составленное из одного или нескольких сложных суждений, связанных с помощью логических операций. Для выполнения данных операций необходимо учитывать последовательность: 1)инверсия 2)конъюнкция 3)дизъюнкция 4)импликация 5)эквивалентность. Для изменения указанного порядка используют скобки! Но в данном случае весь порядок определён скобками. Для создания таблицы выполняем следующие действия: 1) Определяем количество строк, которое будет в таблице. Для этого применяем функцию: 2 n + 2 ,где n – количество простых высказываний. 2³ + 2=10 2) Определяем количество столбцов, которое будет в таблице. Для этого применяем функцию: k + n, где k – количество разных логических операций, входящих в сложное высказывание. 3+3=6 3)Заполняем первые 3 столбца. 4)Заполняем остальные столбцы. В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций. 5) Представим функции вид: (А(ВvС)). (1-истина, 0- ложь) Слабая дизъюнкция: 1 2 3 4 5 6 А В С E=AF (2действие) F= ВvС (1действие) D= E (1действие) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0
