В-14 Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. В задании д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении. Теоретические сведения: Один из алгоритмов получения двоичного числа из десятичного можно описать следующим образом: Исходное десятичное число делится на два (основание двоичной системы счисления). В одну переменную записывается частное в виде целого числа, в другую – остаток в виде строки (если остатка нет, то записывается ноль). Если частное не было равно нулю, то оно снова делится на два. Переменная, связанная со старым частным связывается с новым (прежнее частное теряется). Новый остаток с помощью операции конкатенации добавляется в начало строковой переменной, где хранятся остатки. п. 3 продолжает повторяться до тех пор, пока частное не станет равно нулю. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, представляют собой двоичное представление заданного десятичного числа. В случае перевода чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления алгоритм действий остается таким же. Но десятичное число делиться на 8 и 16 в соответствии с основанием системы счисления, в которую осуществляется перевод, а деление продолжается до тех пор, пока в результате не получиться частное равное 0 и остаток меньше 8 (при переводе в восьмеричную систему счисления) или меньше 16 (при переводе в шестнадцатеричную систему счисления). Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму: Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления по представленному выше алгоритму; Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления; В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления; Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага. В случае перевода дробного числа из десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления алгоритм действий остается таким же. Но дробная часть десятичной дроби умножается уже на 8 или 16 в соответствии с основанием системы счисления, в которую осуществляется перевод. Решение: а) 104710 = 100000101112
Перевести данное число в десятичную систему счисления. Теоретические сведения: При переводе чисел из двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления. Решение: а) 11011000002 = 86410 11011000002 = 1×29+1×28+0×27+1×26+1×25+0×24+0×23+0×22+0×21+0×20 = 512 +256+0+64+32+0+0+0+0+0 = 86410 б) 1000010102 = 26610 1000010102 = 1×28+0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20 = 256+0+0+0+0 + 8+0+2+0 = 26610 в) 10110101012 = 72510 10110101012 = 1×29+0×28+1×27+1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 = 512+0+ 128+64+0+16+0+4+1 =72510 г) 1010011111,11012 = 671,812510 1010011111,11012 = 1×29+0×28+1×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20+ 1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4 = 512+0+128+0+0+16+8+4+2+1+0,5+0,25+0+0,0625 = 671,812510 д) 452,638 = 298,79687510 452,638 = 4×82+5×81+2×80+6×8-1+3×8-2 = 256+40+2+0,75+0,046875 = 298,79687510 е) 1E7,0816 = 487,0312510 1E7,0816 = 1×162+14(E)×161+7×160+0×16-1+8×16-2 = 256+224+7+0+0,03125 = 487,0312510
Сложить числа. Проверить правильность вычислений переводом исходных данных и вычислений в десятичную систему счисления. Теоретические сведения: При сложении двух чисел в системе счисления с основанием q необходимо записать их столбиком одно над другим так, чтобы соответствующие разряды одного слагаемого располагался под соответствующими разрядами другого слагаемого. Сложение производится поразрядно справа налево, начиная с младших разрядов слагаемых. Рассмотрим сложение в разряде с номером i. Введем обозначения: ai и bi - цифры соответственно первого и второго слагаемых i -го разряда, pi -признак переноса единицы из i - 1 разряда в i-ый разряд. Признак переноса pi равен 1, если в i -1 разряде сформирована единица переноса в i-ый разряд и равен 0 в противном случае. Всегда: p 0 =0. Найдем сумму: S = a + b + pi; a и b - десятичные числа, которые соответствуют цифрам ai и bi. Сложение производиться в десятичной системе счисления. Возможны два случая: 1) S = q. Из S вычтем основание системы счисления q. Сформируем признак переноса pi+1 в следующий i +1 разряд, равный 1. Разности, полученной в результате вычитания, поставим в соответствие цифру si системы счисления с основанием q. 2) S < q. Сформируем признак переноса pi+1 в следующий i +1 разряд, равный 0. Поставим в соответствие десятичному числу S цифру si системы счисления с основанием q. Полученная цифра si является цифрой i -го разряда суммы. Аналогично производится сложение в каждом разряде. Решение: а) 1101100101¬2¬+1000100012
Выполнить вычитание. Проверить правильность вычислений переводом исходных данных и вычислений в десятичную систему счисления. Теоретические сведения: Для того чтобы вычесть числа в системе счисления с основанием q , необходимо записать одно число под другим столбиком, чтобы разряды вычитаемого располагались под соответствующими разрядами уменьшаемого. Вычитание производиться поразрядно, начиная с младшего разряда. Рассмотрим вычитание в i -ом разряде. Введем обозначения: ai и bi - цифры соответствующие уменьшаемому и вычитаемому i -го разряда, p - признак единицы заёма в i –ом разряде. Признак заёма p равен - 1, если возникла необходимость в заёме единицы в i + 1 разряде и признак pi равен 0 в противном случае. Для нулевого разряда всегда выполняется p 0 =0. Поставим в соответствии ai и bi десятичные числа a и b. Найдем значение выражения R = a - b + p . Возможны два случая : 1) R < 0. Признаку заема присвоим значение равное –1: pi+1 = -1, т.е. возникает заем единицы из следующего разряд а. Найдем сумму R + q. Полученной сумме поставим в соответствие цифру ri системы счисления с основанием q. 2) R = 0 . Значению r необходимо поставить в соответствие цифру ri. Признаку заема присвоить значение равное нулю: pi+1 = 0. Полученная цифра ri является цифрой i -го разряда разности. Аналогично производится вычитание в каждом разряде. Решение: а) 11101110112 – 1001101112
Ответ: 1A5,816 – 7D,A16 = 127,E 16 Проверка: 1A5,816 = 1×162+10(A)×161+5×160+8×16-1 = 256+160+5+0,5 = 421,510 7D,A16 = 7×161+13(D)×160+10(A)×16-1 = 112+13+ 0,625 = 125,62510 127,E16 = 1×162+2×161+7×160+14(E)×16-1 = 256+32+7+ 0,875 = 295,87510 421,510 – 125,62510 = 295,87510 Выполнить умножение. Проверить правильность вычислений переводом исходных данных и вычислений в десятичную систему счисления. Теоретические сведения: Для выполнения умножения в различных системах счисления необходимо иметь соответствующие таблицы умножения. Для двоичной, восьмиричной и шестнадцатиричной систем счисления таблицы представлены ниже.
Рисунок 1 – Таблица умножения для двоичной системы счисления
Рисунок 2 – Таблица умножения для восьмеричной системы счисления
Рисунок 3 – Таблица умножения для шестнадцатеричной системы счисления
Выполнить деление. Проверить правильность вычислений переводом исходных данных и вычислений в десятичную систему счисления. Теоретические сведения: Для выполнения деления можно использовать таблицы умножения, представленные на рисунках 1, 2 и 3. Решение: a) 100111011002 : 11102
