2. Рациональные дроби.
Опр. , где Pn(z), Qm(z) – многочлены, наз. рациональной дробью.
n>=m – дробь неправильная; n<m – правильная.
Разложение правильной рац. дроби с комплексными коэф. на сумму простейших дробей.
Если - правильная дробь, то , где
z1, z2,…, zl – разл. компл. корни
k1, k2,…, kl – их кратности
то сущ. Такие компл. числа Aik, где i=1,2,…,l; k=1,2,…,ki, то тогда

Разложение простой рац. дроби с действ. коэф. на сумму простейших дробей с действ. коэф.
Пусть - правильная дробь,
x1, x2,…, xl – разл. компл. корни
k1, k2,…, kl – их кратности
pi2-4qi<0 для i=1…s
R1, R2,…,Rs – кратности пар корней, тогда

+Метод неопределенных коэффициентов + Метод частных значений

3. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x € X.
F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.

для
;
Совокупность всех первообразных F(x)+C для ф-ции f(x), определенное на X, называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на X и обозначается
;
Основные свойства неопределенного интеграла.
1).
2).

3).
4).

4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Внесение множителя под знак диффиринциала.
Теорема: Пусть определена и диф-ма на X. U- множество значений ф-ции . Для f(U) существует F(U) на U. Тогда для g(x) на X сущ-т первообразная , т.е.
Док-во:
На практике:
Вынесение множителя из-под знака дифференциала.
Теорема: Пусть определена и диф-ма на T. на Т. Для g(t) на Т существует G(t). , тогда для f(x) на X существует первообразная .
Док-во: возрастающая гарантировано (обратная).

На практике:

5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда
На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или
;
Док-во:
d(uv)=vdu+udv;

6. Интегрирование рациональных функций.

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.
Типы дробей:
1) , 2) ,3) ,4)
1)
2)
3)

4)

- рекуррентная формула

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

7. Интегрирование тригонометрических функций.

tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.
; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:
1) R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;
2) R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;
3) R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;
Интегралы вида:





I. m,n Z, m,n >= 0;
1) Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;
2) Оба нечетные или четные -
II. m,n Q

это дифференц. Бином
- для гиперболических функций аналогично
Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…

8. Интегрирование иррациональных функций.
; ; n1,n2… N, m1,m2… Z
, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …
, тогда



Вид интеграла Тригоном. подстановка Иррацион. подстановка

m,n,p Q; a,b R
1) p Z, тогда , где s-общий знаменатель дроби
2)
3) , где s- знаменатель дроби
Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.

9. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл. Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемые функции.
y=f(t), кот определ на [a,b].

а<b, τn={x0, x1, x2,..,xn |a=x0<x1...<xn=b|}
Δxk=xk-xk-1-длина отр.[xk-1,xk], к=1,n.
λ=max ∆xk – диаметр разбиения 1≤k≤n
k€ [xk-1,xk], k=1,n,
σn=f(ε1)Δx1+ f(ε2)Δx2+..+f(εn)Δxn=∑f(εk)Δxk Интегральн.сумма.
Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τn [a,b] и выбора промежуточных точек εk то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).
Если этот lim сущ, то y=f(x) интегрируемая по Риману на [a,b].
R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b].
Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.
Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.
AB; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.
Ограниченность ∫-ой ф-ции.
1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x) € R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].
Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τn найдется часть от k [xk-1,xk] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать εk€[xk-1,xk], таким обр, чтобы |f(εk)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного limx→0 n
Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.
 1, х – рацион.
D(x)=  0, х – иррац.
D(x) – огр. на [0,1]
εk-рац.

εk-ирррац

D(x) – не инт. по Р., но она огр.
Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.
Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]
Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.
Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …

10. Свойства определенного интеграла
1. f(х)dх=0 2. dх=b – a; f(x)1
3. f(х)dх= - f(х)dх 4. f(x)R [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=
=
5. f(x), g(x)  R [a,b], то f(x)+g(x)  R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх
6. (аддитивность опред. ин-ла)
 a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх
7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=
8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b
Док-во: g(x) – f(x)0 x[a,b], 0 (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх
9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]
| f(х)dх | |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a)
mf(x)M; x[a,b]
m dх  f(х)dхM dх
m(b-a) f(х)dхM(b-a), a<b
11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то  т. [a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f()(b-a)
Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; x[a,b] mf(x)M; иссл. оценку ин-ла:
m(b-a) f(х)dхM(b-a), b-a>0
: (b-a) m( f(х)dх) / (b-a))M; ::= f(х)dх) / (b-a)
найдется такая , что f()=,[a,b] => f(х)dх=f()(b-a) ч.т.д.

11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x [a,b] – интеграл с перем. верхним пределом.
Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b]
Док-во: х [a,b] возьмем (х+ х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+ х)-Ф(х)= f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt=f( ) х, где [х, х+ х].
Ф(х)=f( ) х.
х 0 => Ф(х) 0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.
т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.
Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt явл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. ( f(t)dt)=f(x)
Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.
Док-во: Ф(х)=f( ) х, где [х, х+ х]
( f(t)dt)=Ф (x)=lim х 0 Ф(х)/ х= lim х 0 f( ) х/ х= lim х 0 f( ) (тогда х) =f(x) ч.т.д
f(х)dх= f(t)dt+С
Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)
Ф(х)=F(х)+С0
f(t)dt=0
0=Ф(a)=F(а)+С0 => С0 = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)
Ф(b)=F(b)-F(а)
f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница
Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.

12. Замена переменных в определенном интеграле.
Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=(x) Е().
Тогда f((x)) (х)dx= f(u)du
Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f((x)) (х) имеет первообр. F( (x))
f((x)) (х)dx= F( (x)) |ba= F( (b)) - F( (a)); f(u)du=F(u) |(b)(a)= F( (b)) - F( (a)) ч.т.д.
Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=(t) непрер. диф-ма на (,); (t)>0 (=> возрастает) ((t)<0); ()=a; ()=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда
f(х)dх= f((t)) (t)dt
Док-во: g(t)= f((t)) (t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a,b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(-1(x)) (сущ-ние -1(x) гарантировано монотонностью: -1(x)>0 (<0)); f((t)) (t)dt= G(t) |=G() – G()
f(х)dх=G(-1(x)) |ba=G(-1(b)) - G(-1(a))= G() - G() ч.т.д.

13. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
Теорема: Пусть f(x) интегр. на [-a,a], тогда если f(x) четная, то , если нечетная, то .
Если f(x) – непрерывная с периодом T, интегрируемая на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на любом отрезке длины Т.

Док-во:


Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- непр. диф-е ф-ции на
; ; ;

14. Вычисление площадей плоских фигур.
1) В декартовой системе координат
f(x)-непрерывна
x=a,x=b; отр [a,b] оси оХ

2) В параметрическом виде.


; ;
разбиваем: ;


3) В полярной системе координат
; ; ; ;
; ;

15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как
Тогда длина дуги равна
Из геометрических соображений:
В то же время
Тогда можно показать, что

Т.е.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем
где х = j(t) и у = y(t).
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

17. НИ-1
Пусть f(x) определена на и инт на ; , т.е.
Пусть . Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.
;
1) Аддитивность : Если сходится, то , ;
2) Линейность: Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-1.
Если f(x) непрерывна на и F – какая-то первообразная для ф-ции f(x), то

Интегрирование по частям.: Если U,V – непрер. Диф-мы ф-ции на , то
Исследование на сходимость.
Т1: Пусть ф-ции f(x) и g(x) , тогда если и , то

сходится сходится
расходится пасходится
Предельный признак сравнения для НИ-1.
Т2: Пусть , ; , тогда если конечный , то и сходятся или расходятся одновременно.
При k=1 при
Т3: Если и сходится, то сходится.
Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .
Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся
Главное значении.
, , Если и сходится, то и

18. Несобственные интегралы второго рода.
f(x) определена на [a,b); ; , т.е.
называется НИ-2 и обозначается
Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что сходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.
Свойства НИ-2.
{Аналогично НИ-1. }
1) Аддитивность
Если сходится, то , ;
2) Линейность
Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.
Формула Ньютона-Лейбница.
f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.




Интегрирование по частям.
Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a,b), то

Исследование на сходимость.
{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.
f(x) определено на

Определение:

19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ. N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ; (число)
(x1, x2, …,xm)-независимые переменные.
Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ. , для любого
Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),
A(a1, a2,…, am)
Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем
Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если
M(x1, x2, …,xn) ; … ; A(a1, a2, …,an)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если
Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.

20. Частные производные .
Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется
, если он .
; ;
непрерывна
имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
; ;
;
Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.
Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.
Док-во: -диф-ма в т.
;
- непрерывна в точке
Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то
Док-во: ; ;

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .
Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.
;
; ;

22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
; ;
Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет дифф. в т. и
Док-во: ; ;
- дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ;
дифф. в т.

;

; ; ;
;
;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

23. Неявные функции и их дифференцирование.
переменная u, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х, у, ... , задается посредством функционального уравнения

F(u, х, у, ...) = 0. (1)

В этом случае говорят, что u как функция аргументов х, у, ... задана неявно. Так, например, функция u = - , рассматриваемая в круге x2 + y2 ≤ 1, может быть неявно задана посредством функционального уравнения
F(u, х, у) = u2 + x2 + y2 – 1 = 0. (2)
Теорема 1. Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точки M0’(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u0 | < ε и является решением уравнения
F(u, х, у) = 0 (3)

причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0’.

24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

f(x,y)=f(x0,y0)+A∆x+B∆x+o(ρ); z0=f(x0,y0); z=f(x,y); ∆x=x-x0, ∆y=y-y0;
z0=z0+A(x-x0)+B(y-y0); z0-z=A(x-x0)+B(y-y0);
z0-z=fx‘(x0,y0)(x-x0)+fy‘(x0,y0)(y-y0)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.
z=f(x,y) (x0,y0,z0).
Нормалью к поверхн. в данной точке М0(x0,y0,z0) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.
(x-x0)/fx‘(x0,y0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0)=(z-z0)/(-1) – ур-ние нормали
(x-x0)/fx‘(x0,y0,z0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0,z0)=(z-z0)/fz‘(x0,y0,z0)

25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:




Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.
Так .
Частная производная второго и более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Пусть функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:
.
Символически это записывается так:
.
Аналогично можно получить формулу для дифференциала 3-го порядка.
Методом мат. Индукции можно показать, что:
, где .
Полученные формулы справедливы лишь если x и y – независимые переменные.

Матрица Гессе имеет вид:

26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М0€[М]
└→(Rk+1(N))
N отр М0М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М0.
;

27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
u=f(M)=f(x1,x2,..,xn) опред. в окр. т.М0 (x10,x20,..,xn0).
Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М0 локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М0 в кот.при ММ0 выполняется след. нер-во: f(M)<f(M0), (f(M)>f(M0)).
∆u=f(M)-f(M0)<0, если М0 т.локал. мах.; ∆u>0, если М0 т.локал. мin.
Теор.(необход.усл.экстремума).
Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М0 и М0 – т.лок. max (min), то в этой точке:
Док-во: док-ем, что , u=f(x1,x2,..,xn)
x2=x20, М0 (x10,x20,..,xn0).
x3=x30,..
xn=xn0.
u=f(x10,x20,..,xn0) – имеет лок. экстремум в т.М0 → .
Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.
u=xy2, ux’=y2=0; uy’=2xy=0; M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.
∆u=u(M)-u(M0)= xy2>(<)0
Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:
z=1-√x2+y2; zx’=x/√x2+y2; zy’=y/√x2+y2; z(0,0)=1; z(∆x,∆y)<1
Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)
Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M0 и т.M0 – стационар.т., u=f(M) (df(M0)=0), тогда если для любых dx1,dx2,..dxn не равных одновременно 0:
d2f(M0)>0, то т.M0-т.лок.min; d2f(M0)<0, то т.M0-т.лок.max;
Д-во: f(M)=f(M0)+df(M0)/1!+d2f(N)/2!., ∆f(M0)=f(M)-f(M0)=df(M0)+d2f(N)/2!.
u=f(M) – дважды непр. дифф., d2f(M0)>0→d2f(N)>0; d2f(M0)<0→d2f(N)<0;→ ∆f(M0)>0→
M0 – т.лок. min; M0 – т.лок. max;

1) d2f(M0)>0↔a11>0,
2) d2f(M0)<0↔a11<0,

Если d2f(M0) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M0 экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму
Q(dx1,dx2,..dxn)>0 то полож.опр.
Q(dx1,dx2,..dxn)≥0 то казизнакополож.опр
х12+2х12х22+х22+(х1+х1)2≥0; х1=-х2.

28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.
; x+y-1=0;
(*)
; ; ;
Метод множителя Ла-Гранджа.
(*) эквивалентна задаче: , где
-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.
Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.
Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.
Под геометрической фигурой понимается одно из следующих связных (включая границу) множеств точек (см. таблицу).
Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.
Под мерой фигуры Ф понимается следующее (см. таблицу).

Если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по фигуре Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается
Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.

30. Криволинейный интеграл первого рода.
1). ; - диф-ма на [a,b];
; L: x=g(y);
;
2). ; x(t),y(t) – непрерывно диф-ма на ; L:
;
3). ; ; L:

4). ; ;L: ;
; ;

31. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.
; ;
y-трапецевидная область Д.
x-трапецевидная область Д
Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.
; ;
для y-трапецевидной области
для x-трапецевидной области
Замечание: области более сложного вида разбиваются на сумму трапецевидных областей.

32. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.

(*)
Свойства
1) x(u,v), y(u,v) – взаимно однозначны
2) x(u,v), y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка
3)

P1: x(u,v), y(u,v) P2: x(u+∆u,v), y(u+∆u,v)





I – Якобиан(Якоби)
Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’.

Вычисление в полярной сист координат. ,

a)
b)

c)
33. Тройной интеграл.
: , z меняется от поверхности до поверхности.
Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.
Замена переменных в тройном интеграле.
, где |I| - модуль Якобина.
Геометрический смысл: |I| -коэффициент растяжения объёма при отображении области V на область V’
В цилиндрических координатах:

В сферических координатах:

34. Поверхностный интеграл первого рода.
, -гладкая(в каждой точке существует касательная плоскость). Пусть такова, что прямая параллельная OZ пересекает её не более чем в 1-ой точке. Тогда z=f(x,y);

;
Примечание: Можно проецировать и не на поверхность XOY. Например: x= (y,z);

35. Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.

Векторная ф-ция 3х переменных x,y,z, определенной на фигуре Ф. Ф-ции P,Q,R называются координатами . Фигура Ф называется ориентированной, если в каждой ее точке М задан некоторый вектор , характеризующий эту фигуру. Диния называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения.
Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению.
1). ; 2). ; 3). ; 4).
5). ; n-я интегральная сумма для векторной ф-ции a(M) по ориентированной с помощью вектора P(n) фигуре Ф. ; 6). (*)
Если (*) существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по орентированной фигуре Ф от векторной ф-ции a(M).

P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) a=(P,Q,R)
Если ф-ции P,Q,R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует.
Частные случаи интегралов по ориентированной фигуре.

Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции.
1). ; 2). , c=const
3). ; 4).
36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
Механический смысл КРИ-2:
(М) – вектор силы; L=AB; Работа силы по перемещению вдоль L. Если (М) – переменная сила, а AB – кривая, то: - настолько малы, что перемещение на кусочек по направлению совпадает с единичным касательным вектором. -произвольная точка. ( ) – постоянная сила. =( ( ), )=( ( ), )

!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.
Скалярная форма КРИ-2

Вычисление КРИ-2
,

Вывод: в общем случае КРИ-2 зависит от пути интегрирования.

37. Формула Грина.
Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя.
Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l , лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D.
Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей.
Например: круг, прямоугольник, кольцо.
Теор. Грина: пусть P(x,y), Q(x,y) и и непрерывны в простой области D тогда

где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении.
Док-во
Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.

Для I2 – аналогично.
Формула Грина имеет место для любой простой области.
Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».

38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1) , где L – любой замкнутый контур Д.
2) не зависит от пути AB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:


где .
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.

Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy

Второй способ: ;

{ ; } ;
не зависит от пути.

39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..

Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1) , где L – любой замкнутый контур Д.
2) не зависит от пути AB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:


где .
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.

Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy

Второй способ: ;

{ ; } ;
не зависит от пути.

40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
Пусть V – некоторая область в пространстве. Говорят, что в этой области задано скалярное поле, если каждой т. поставлено в соответствие некоторое число U(M) (пример – поле температур, освещенности). Скалярное поле не зависит от выбора системы координат. Поверхность или линия, на которой U(M) принимает постоянное значение называется поверхностью уровня скалярного поля.
Пусть U(M) – некоторое скалярное поле. - единственный фиксированный вектор. -фиксированая точка. ; ;
Если , то он называется производной скалярного поля U(M) по направлению в точке .
lnH-скорость изменения ф-ции U(m) по направлению в точке .
; ; ;
;



; ; ;
принимает наибольшее значение при , т.е. в направлении вектора gradU в т.
gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.

41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
Говорят, что в V занадо векторное поле, если каждой т. поставлен в соответствие некоторый вектор . Физ. Векторные поля не зависят от выбора СК.
Векторная линия – кривая, в каждой точке M которой направлен по касательной к кривой. Векторная трубка – часть пространства, состоящая из целых векторных линий, каждая ВЛ или целиком лежит внутри этой трубки или находится вне ее.
Поток векторного поля. Дивергенция.

Дивиргенцией векторного поля называется скалярная ф-ция .
Формула Остроградского:
характеризует плотность источников поля в данной точке. Не зависит от выбора СК.

42. Циркуляция и ротор векторного поля.
Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция
Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.
Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.
Рассмотрим . С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2 называется циркуляцией вдоль кривой L в направлении . Если -силовое поле, то его циркуляция – работа вдоль пути L.

(формула Стокса).

43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
Опера́тор Лапла́са (Лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Δ. Функции F он ставит в соответствие функцию

В сферических координатах:

или

Оператор Лапласа часто записывается следующим образом , то есть скалярное произведение оператора набла на себя.

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами

в n-мерном пространстве.
Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом
Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он умножается.

Если умножить вектор набла а скаляр φ, то получится вектор
который представляет собой градиент функции φ.
Если вектор набла скалярно умножить на вектор , получится скаляр:
то есть дивергенция вектора .
Если умножить на векторно, то получится ротор вектора .

Также, произведение есть оператор Лапласа, и обозначается Δ. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

44 Потенциальное векторное поле и его свойства.
называется потенциальным в области G, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U(M). Функция U(M) – потенциал векторного поля . ; ; ; ; ;

Т.о. в потенциальной поверхностно односвязной области G поле обладает следубщими свойствами:
1) циркуляция потенциального вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

2) Для любых т. А,В из области G циркуляция потенциального поля не зависит от выбора кривой АВ, а зависит только от выбора А и В.

3) Потенциальное поле является безвихревым

- необходимое и достаточное условие потенциальности поля в поверхностно односвязной области.
Гармоническое векторное поле.
гармоноческое, если оно является одновременно потенциальным и сопеноидальным.
; ;

45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
Сопеноидальное векторное поле.
Векторное поле называется сопеноидальным в области G, если в этой области (нет источников). ;
; ; ; ; ;
Закон сохранения интенсивности векторной трубки в сопеноидальном поле.
В сопеноидальном поле поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и тоже значение. Векторные линии в соп. поле не могут начинаться или заканчиваться внутри областисопеноидальности. -это поле является соп-м.
Любое физ векторное поле C может быть представлено в виде суммы и , где -потенциальное, -соленоидальное.