Задача 5 Заданы функция y=f(x) и точка x_0. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведенной в точке x_0 к графику функции y=f(x).
5.02. f(x)=(2x^2-1)/(x+1); x_0=-2.
Решение
Катетами треугольника, площадь которого нужно найти, очевидно, являются оси координат, а гипотенузой – касательная к графику заданной функции. Уравнение касательной имеет вид:
y=f^' (x_0 )∙(x-x_0 )+f(x_0 ).
После подстановки x_0=-2 получим уравнение гипотенузы треугольника в виде:
Таким образом, уравнение гипотенузы треугольника имеет вид
y=9∙(x+2)-7 <=>y=9x+11,
или в виде уравнения прямой в отрезках:
y-9x=11 => x/(-11/9)+y/11=1.
Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов. В данном случае длинами катетов являются модули чисел, стоящих в знаменателях уравнения гипотенузы в отрезках, поэтому искомая площадь треугольника равна
S=1/2∙|-11/9|∙|7|=77/18≈4,28.
Ответ: 77/18 кв. ед.
Задача 6 Найдите предел по правилу Лопиталя.
6.02. lim┬(x→3)〖(3^x-x^3)/(x-3)〗.
Решение
Непосредственная подстановка аргумента x=3 приводит к неопределенности вида (0/0).
Задача 8 Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
8.02. y=16x^2 (x-1)^2.
Решение
1) Область определения функции D(y)=[0;+∞). 2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. 3) Найдём точки пересечения графика с осью O_x. Имеем 16x^2 (x-1)^2=0=>x_1=0,x_2=1. 4) Точки разрыва отсутствуют 5) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы возрастания и убывания. Имеем y^'=(16x^2 (x-1)^2 )^'=32x(x^2-2x+1)+16x^2 (2x-2)=32x(2x^2-3x+1) Существуют критические точки x_1=1,x_2=1/2,x_3=0. В промежутках x∈(0;1/2)∪(1;+∞) имеем y^'>0 следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(-∞;0)∪(1/2;1) имеем y^'<0 функция убывает. Далее, находим y^''=(32x(2x^2-3x+1))^'=32(2x^2-3x+1)+32x(4x-3)= =32(6x^2-6x+1). y^'' (1/2)=32(3/2-3+1)=-16, y^'' (1)=32(6-6+1)=32 y^'' (1)=32>0, следовательно, х=1 – точка минимума, y_min1=0; y^'' (0)=32>0, следовательно, х=0 – точка минимума, y_min2=0; y^'' (1/2)=-16<0, следовательно, x=1/2 – точка максимума, y_max=1. 6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба. Так как y^''=0 в точках x_1,x_2=(3±√3)/6то график функции перегибается в данных точках. Учитывая, что y^''>0 в промежутке x∈(-∞;(3-√3)/6)∪((3+√3)/6;+∞), график вогнут на данном отрезке и выгнут в промежутке x∈((3-√3)/6;(3+√3)/6). 7) С учётом результатов исследования строим график функции: y
x
Задача 9 Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
9.02. y=((x+1)/(x-1))^2.
Решение
1) Область определения функции D(y)=[0;+∞). 2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. 3) Найдём точки пересечения графика с осью O_x. Имеем ((x+1)/(x-1))^2=0=>x=-1. 4) Точкой разрыва является x=1, причем lim┬(x→1)y=+∞; следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика. Найдем наклонные асимптоты: k=lim┬(x→∞)〖f(x)/x=〗 lim┬(x→∞)〖(x^2+2x+1)/(x^3-2x^2+1x)=0/1=0〗; b=lim┬(x→∞)〖(f(x)-k(x))=lim┬(x→∞)〖(((x+1)/(x-1))^2-0)=1〗 〗. Учитывая изложенное, наклонная асимптота имеет уравнение y=1 и, очевидно, является горизонтальной асимптотой.
5) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы возрастания и убывания. Имеем y^'=((2x+2) (x-1)^2-(2x-2) (x+1)^2)/((x-1)^2 )^2 =(2(x+1)(x-1)((x-1)-(x+1)))/((x-1)^2 )^2 . Существует критическая точка x=-1. В промежутках x∈(-1;1) имеем y^'>0 следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(-∞;-1)∪(1; +∞) имеем y^'<0 функция убывает. Далее, находим y^''=(((2x+2) (x-1)^2-(2x-2) (x+1)^2)/((x-1)^2 )^2 )^'= =((2(x-1)^2-2(x+1)^2 ) (x-1)^4-〖((x-1)〗^2 (2x+2)-(x+1)^2 (2x-2))(4(x-1)^3))/(x-1)^6 y^'' (-1)=2>0, следовательно, х=1 – точка минимума, y_min=0; 6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба. Так как y^''>0 (≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет. 7) С учётом результатов исследования строим график функции: y
