Задача 1 Даны два вектора a ⃗ и b ⃗, выраженные в виде линейной комбинации векторов e ⃗1 и e ⃗2. Найдите: а) |a ⃗| и |b ⃗|; б) скалярное произведение a ⃗ ∙ b ⃗; в) угол между векторами a ⃗ и b ⃗; г) длину третьей стороны и площадь треугольника, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗.
1.02. a ⃗ = e ⃗1+ 5e ⃗2; b ⃗= 2e ⃗1 - 3e ⃗2; |e ⃗1| = 4; |e ⃗2| = 1; (e ⃗1( , ) ̂e ⃗2) = arccos(1/4).
Ответ: а) |a ⃗| = √(51 ), |b ⃗| = √(61 ); б) a ⃗∙b ⃗ = 24; в) (a ⃗( , ) ̂b ⃗ ) = arccos(24/√3111); г) длина равна 8, площадь равна (13√15)/2.
Задача 2 Дана точка М – вершина треугольной пирамиды и три вектора a ⃗,b ⃗,c ⃗, образующие её боковые рёбра. Найдите: а) уравнение плоскости основания пирамиды; б) угол между гранью, образованной векторами a ⃗,b ⃗, и плоскостью основания; в) угол между ребром, образованным вектором c ⃗, и плоскостью основания; г) уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание; д) объём пирамиды.
2.02. M(3, −2, 2); a ⃗(1, −2, 2); b ⃗(2, −3, 1); c ⃗(−4, −2, 3).
Решение Обозначим оставшиеся три вершины пирамиды – точки M_1,M_2,M_3.
б) Угол между гранями пирамиды численно равен острому углу между плоскостями, которые содержат эти грани. Уравнение плоскости основания получено в пункте а; найдём уравнение плоскости, содержащей грань пирамиды, образованной векторами a ⃗,b ⃗. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M_0 (x_0,y_0,z_0) параллельно двум векторам q_1 (m_1,n_1,p_1) и q_2 (m_2,n_2,p_2), имеет вид
|■(x-x_0&y-y_0&z-z_0@m_1&n_1&p_1@m_2&n_2&p_2 )|
Подставив в это уравнение координаты точки M(3, −2, 2), координаты векторов a ⃗(1, −2, 2) и b ⃗(2, −3, 1), получим
Таким образом, уравнение плоскости, содержащей заданную грань, имеет вид p_ab: 4x+3y+z-8=0. Нормальный вектор этой плоскости n ⃗_ab (4,3,1), а нормальный вектор плоскости основания n ⃗(-1,-4,-5). Угол между плоскостями φ численно равен острому углу между их нормальными векторами, который можно найти из их скалярного произведения: n ⃗_ab∙n ⃗=|n ⃗_ab |∙|n ⃗ |∙cosφ □(⇒┴ ) φ=arccos |n ⃗_ab∙n ⃗ |/(|n ⃗_ab |∙|n ⃗ | ). Таким образом, φ=arccos |4∙(-1)+3∙(-4)+1∙(-5)|/(√(4^2+3^2+1^2 )∙√((-1)^2+(-4)^2+(-5)^2 ))= =arccos |-21|/(√26∙√42)=arccos 21/√1092.
в) Угол между ребром пирамиды и плоскостью основания численно равен острому углу между прямой, проходящей через вершину пирамиды параллельно вектору, образующему ребро. Найдём каноническое уравнение ребра, образованного вектором c ⃗(−4, −2, 3), использовав в качестве точки вершину пирамиды M(3, −2, 2): Угол ψ между прямой, заданной каноническим уравнением с направляющим вектором q(m,n,p), и плоскостью, заданной общим уравнением ax+by+cz+d=0 с нормальным вектором n ⃗(a,b,c), находится по формуле ψ=arccsin |q ⃗∙n ⃗ |/(|q ⃗ |∙|n ⃗ | ). Направляющим вектором прямой в нашем случае является вектор c ⃗, а нормальным вектором плоскости основания пирамиды является n ⃗(-1,-4,-5), поэтому вычисляем
г) Уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание, представляет собой каноническое уравнение прямой h, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости р, общее уравнение которой получено в пункте а. Направляющим вектором этой прямой, очевидно, является нормальный вектор плоскости р: n ⃗(-1,-4,-5). Значит,
h: (x-3)/(-1)=(y+2)/(-4)=(z-2)/(-5).
д) Объём треугольной пирамиды численно равен одной шестой от модуля смешанного произведения векторов, выходящих из одной вершины и образующих три её ребра. Смешанное произведение трёх векторов в декартовых координатах вычисляется с помощью определителя, в строки которого подставлены их координаты. Значит,
(a ⃗,b ⃗,c ⃗ )=|■(1&-2&2@2&-3&1@-4&-2&3)|= =1∙|■(-3&1@-2&3)|—(-2)∙|■(2&1@-4&3)|+2∙|■(2&-3@-4&-2)|= =(-9+2)+2∙(6+4)+2(-2-12)=-7+20-28=-15.
Таким образом, точка М' имеет координаты (−2;−3;0).
Ответ: M'(9;2;11).
Задача 4 4.02. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F_1 (-2;0),F_2 (2;0) равна 2√3. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте её.
Решение
Обозначим произвольную точку искомой линии как M(x,y). Тогда по условию получаем, что |F_1 M|+|F_2 M|=2√3≈3,46<|F_1 F_2 |=4. Очевидно, что сумма расстояний от произвольной точки искомой линии до точек F_1 (-2;0),F_2 (2;0) не может быть меньше расстояния между данными точками. Значит, искомая по заданным условиям кривая не существует.
Ответ: искомая по заданным условиям кривая не существует.
Задача 5 Вычислите определитель 5-го порядка методом Гаусса.
Задача 7 Образует ли заданное множество векторов с естественными операциями сложения и умножения на число линейное пространство? Множество всех четных чисел. Решение По условию задачи множество векторов является множеством всех четных чисел. С учётом этого, обозначим любой вектор пространства как a ⃗=α∙2, где α – произвольное действительное число. Для того чтобы пространство было линейным, в нём должны выполняться восемь аксиом. Проверим их выполнение. 1) Коммутативность сложения. Рассмотрим два произвольных вектора пространства a ⃗=α∙2 и b ⃗=β∙2, где α,β – действительные числа. Имеем с учётом свойства сложения действительных чисел a ⃗+b ⃗=α∙2+β∙2=β∙2+α∙2=b ⃗+a ⃗. Значит, аксиома выполняется. 2) Ассоциативность сложения. Для трёх произвольных векторов пространства a ⃗=α∙2 , b ⃗=β∙2 и c ⃗=γ∙2 аксиома, очевидно, выполняется вследствие коммутативности сложения и свойств действительных чисел: a ⃗+b ⃗ + c ⃗=(a ⃗+b ⃗) + c ⃗=a ⃗+(b ⃗ + c ⃗). 3) Существование нулевого элемента. Нулевым элементом пространства, очевидно, является нулевой вектор 0 ⃗=0, так как ноль является четным числом (вектор принадлежит рассматриваемому пространству) и a ⃗+0 ⃗=α∙2+0=a ⃗. 4) Существование противоположного элемента. Противоположным элементом для вектора a ⃗=α∙2 является вектор -a ⃗=-α∙2, так как -α∙2 является четным числом (вектор принадлежит рассматриваемому пространству) и a ⃗+(-a ⃗ )=α∙2+(-α∙2)=α∙2-α∙2=0 ⃗. 5) Пусть λ_1,λ_2 – произвольные действительные числа, а вектор a ⃗=α∙2 – произвольный вектор пространства. Тогда вследствие коммутативности умножения λ_1∙(λ_2∙a ⃗ )= λ_1∙(λ_2∙(α∙2))= λ_1∙λ_2∙α∙2=〖(λ〗_1∙λ_2)∙α∙2=〖(λ〗_1∙λ_2)∙a ⃗. Отсюда следует, что аксиома выполняется. 6) Умножение элемента на единицу. Аксиома, очевидно, выполняется, так как 1∙a ⃗=1∙α∙2=α∙2=a ⃗. 7) Дистрибутивность. Пусть λ_1,λ_2 – произвольные действительные числа, а вектор a ⃗=α∙2 – произвольный вектор пространства. Тогда 〖(λ〗_1+λ_2)∙a ⃗= 〖(λ〗_1+λ_2)∙(α∙2)= λ_1∙(α∙2)+λ_2∙(α∙2)=λ_1∙a ⃗+λ_2∙a ⃗. Значит, аксиома выполняется. 8) Дистрибутивность. Пусть λ – произвольное действительное число, а a ⃗=α∙2 и b ⃗=β∙2 – произвольные векторы пространства. Тогда λ∙(a ⃗+b ⃗ )=λ∙((α∙2)+(β∙2))=λ∙(α∙2)+λ∙(β∙2)=λ∙a ⃗+λ∙b ⃗ Таким образом, аксиома выполняется. Поскольку все восемь аксиом линейного пространства выполняются, то множество всех четных чисел образует линейное пространство. Ответ: заданное множество образует линейное пространство.
Задача 8 В декартовой прямоугольной системе координат заданы вектор u ⃗ и плоскость p. Найдите: а) вектор v ⃗ – проекцию вектора u ⃗ на плоскость p методами аналитической геометрии; б) матрицу геометрического оператора проецирования произвольного вектора на плоскость p и с её помощью координаты вектора v ⃗.
8.02. u ⃗(-2; 3;-4), p:x+z=0.
Решение а) Из уравнения заданной плоскости следует, что она проходит через ось O_y, поэтому для простоты расчётов совместим начало вектора v ⃗с началом координат.
z
p
-2 0 x
3 v ⃗
y
M'
u ⃗
-4 l
M
Из рисунка видно, что проекцией вектора u ⃗ на плоскость р является вектор v ⃗, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с проекцией конечной точки М вектора u ⃗ на плоскость р, то есть, с точкой М'. Так как вектор u ⃗ является радиусом-вектором точки М, то её координаты будут такими же, как и у вектора u ⃗:M(-2; 3;-4). Проведём через эту точку прямую l, перпендикулярную плоскости р, и найдём их точку пересечения: l: (x+2)/1=(y-3)/0=(z+4)/1=t.
где в знаменатели подставлены координаты нормального вектора n ⃗(1; 0; 1), плоскости, а t – некоторое число.
Перейдём к параметрическим уравнениям прямой l, подставим полученные выражения в уравнение плоскости и найдём параметр t: {■(■(x=t-2;@z=t-4;)@y=t∙0+3;)┤ (t-2)+(t-4)=0 □(⇔┴ ) 2t-6=0; t=3.
Найденное значение параметра t соответствует точке пересечения перпендикулярной прямой l с плоскостью р, поэтому точка М' является проекцией точки М на плоскость р и имеет координаты {■(x=3-2=1;@z=3-4=-1;@y=3.)┤
Искомый вектор v ⃗ является радиусом-вектором точки M', поэтому его координаты совпадают с её координатами: v ⃗:M'(1; 3;-1). б) Пусть А – искомый геометрический оператор. Для нахождения его матрицы необходимо применить оператор к базисным векторам исходного пространства, разложить полученные векторы по базису конечного пространства и записать координаты в столбцы матрицы, соблюдая порядок, в котором записаны базисные векторы. Исходным базисом, очевидно, является декартов ортонормированный базис {i ⃗,j ⃗,k ⃗ }, конечным базисом – он же, так как при проецировании на плоскость мы работаем в одном и том же пространстве. Совместим начала всех базисных векторов в начале координат и найдём проекции их конечных точек M_x,M_y,M_z на плоскость р, получив радиусы-векторы проекций базисных векторов, – это и будет результатом применения оператора А к базисным векторам {i ⃗,j ⃗,k ⃗ }. Расчёт будем выполнять по той же схеме, что и в пункте а. Для базисного вектора i ⃗ имеем: i ⃗(1;0;0)=> M_x (1;0;0) l_x: (x-1)/1=y/0=z/1=t; □(⇒┴ ) {█(x=t+1,@y=t∙0,@z=t;)┤ t+1+t=0 □(⇔┴ ) 2t=-1 □(⇒┴ ) t=-1/2; 〖M^'〗_x (1/2;0;-1/2) □(⇒┴ ) A_i ⃗ (1/2;0;-1/2). Для базисного вектора j ⃗ получаем: j ⃗(0;1;0)=> M_y (0;1;0) l_y: x/1=(y-1)/0=z/1=t; □(⇒┴ ) {█(x=t,@y=t∙0+1,@z=t;)┤ t+t=0 □(⇔┴ ) 2t=0 □(⇒┴ ) t=0; 〖M^'〗_y (0;1;0) □(⇒┴ ) A_j ⃗ (0;1;0). Наконец, для базисного вектора k ⃗ имеем: k ⃗(0;0;1)=> M_z (0;0;1) l_z: x/1=y/0=(z-1)/1=t; □(⇒┴ ) {█(x=t,@y=t∙0,@z=t+1;)┤ t+t+1=0 □(⇔┴ ) 2t=-1 □(⇒┴ ) t=-1/2; 〖M^'〗_z (-1/2;0;1/2) □(⇒┴ ) A_k ⃗ (-1/2;0;1/2).
Теперь найдём координаты проекции вектора u ⃗ на плоскость р v ⃗=A∙u ⃗=(■(1/2&0&-1/2@0&1&0@-1/2&0&1/2))∙(■(-2@3@-4))= =(■(1/2∙(-2)+0∙3-1/2∙-4@0∙(-2)+1∙3+0∙-4@-1/2∙(-2)+0∙3+1/2∙-4))=(■(1@3@-1))
Как видим, полученный вектор совпадает с результатом расчёта методами аналитической геометрии в пункте а.
Ответ: а) v ⃗(1; 3;-1); б) A=(■(1/2&0&-1/2@0&1&0@-1/2&0&1/2)).
Задача 9 Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.
9.02. {█(-x_1+2x_2+x_3=11;@3x_1-x_2+〖2x〗_3=-14;@2x_1+3x_2-2x_3=-1.)┤ Решение Формулы Крамера имеют вид x_i=∆_i/detA , где Δi – определитель, полученный из определителя основной матрицы системы линейных уравнений путём замены i-го столбца на вектор-столбец правых частей, а det А – определитель основной матрицы системы. Основная матрица системы линейных уравнений имеет вид A=(■(-1&2&1@3&-1&2@2&3&-2)). Найдём её определитель det〖A=|■(-1&2&1@3&-1&2@2&3&-2)|=(-1)∙(-1)∙(-2)+2∙2∙2+3∙3∙1-1∙(-1)∙2-〗 -3∙2∙(-1)-3∙2∙(-2)=-2+8+9+2+6+12=35 ≠0. Значит, система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители ∆_i:
Преобразуем расширенную матрицу так, чтобы она стала трапециевидной, с помощью перестановки строк и умножения элементов какой-либо строки на число и сложения с соответствующими элементами другой строки.
Получилась трапециевидная матрица. Составим эквивалентную систему уравнений:
{█(-x_1+x_3=5;@x_2=3;@5x_3=4.)┤
x_3=4/5; x_1=x_3-5=4/5-5=-21/5.
Таким образом,
Ответ: X ⃗=(■(x_1@x_2@x_3 ))=(■(-21/5@2@4/5)).
Задача 10 Для заданной системы линейных уравнений проверьте выполнение условий теоремы Кронекера-Капелли. Если система совместна, то найдите её общее решение, укажите размерность и базис пространства решений.
Решение Составим расширенную матрицу системы уравнений: (A│b ⃗ )=(├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@1&1&■(-1&2&-3)@2&2&■(-1&-1&3))┤| ■(0@1@0))
Приведём её к трапециевидному виду методом элементарных преобразований (перестановка строк, умножение элементов какой-либо строки на число и сложение с соответствующими элементами другой строки).
Преобразованная основная матрица системы имеет вид:
A=(■(1&1&■(2&-1&1)@0&0&■(-1&5&-3)@0&0&■(0&12&7)))
Основная матрица системы имеет три ненулевые строки, значит, её ранг равен 3. В результате имеем r(A│b ⃗ )=r(A)=3, поэтому, согласно теореме Кронекера-Капелли, система является совместной (имеет решения). Число переменных равно 5 (n=5), значит, в системе уравнений r=3 зависимых переменных и n–r=5–3=2 независимых переменных.
Эквивалентная система линейных уравнений имеет вид:
Выберем в качестве зависимых переменные x_1 〖,x〗_(2 ), что соответствует базисному минору, составленному из элементов на пересечении первых двух строк и первых двух столбцов преобразованной расширенной матрицы. Тогда эквивалентную систему уравнений можно переписать в виде
x ⃗=(■(x_1+x_2@x_3@■(x_4@x_5 )))=(■(■(-2x_3+x_4-x_5@-2+5x_4 〖- 3x〗_5@5/12-(7x_5)/12)@x_5 ))=(■(0@-2@■(5/12@0)))+x_3 (■(-2@0@■(0@0)))+x_4 (■(1@5@■(0@0)))+x_5 (■(-1@-3@■(-7/12@1)))
Заменим в общем решении независимые переменные на произвольные постоянные α_1,α_2,α_3∈R:
x ⃗=(■(x_1+x_2@x_3@■(x_4@x_5 )))=(■(0@-2@■(5/12@0)))+α_1 (■(-2@0@■(0@0)))+α_2 (■(1@5@■(0@0)))+α_3 (■(-1@-3@■(-7/12@1)))
В полученном выражении первый вектор постоянный, а три остальных являются базисом пространства решений, так как они линейно независимы и через них выражается любое решение системы в виде линейной комбинации, сложенной с постоянным вектором. Количество базисных векторов равно трём, значит, размерность пространства решений – три.
Ответ: Размерность пространства решений равна 3; базис: x ⃗_1=(-2;0;0;0)^T,x ⃗_2=〖(1;5;0;0)〗^T,〖 x ⃗〗_1=〖(-1;-3;-7/12;1)〗^T.
