Основные теоретические сведения

1. Базисом пространства называется совокупность линейно независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства.
Если векторы образуют базис, то любой вектор можно представить в виде
(1.1)
При этом числа и называются координатами вектора в базисе и определяются однозначно. Если известны координаты векторов и в некотором базисе, то из (1.1) может быть получена система трех уравнений с тремя неизвестными , . Для нахождения , такая сис-тема может быть решена по правилу Крамера

где определитель системы
, а - определители, полученные из основного определителя заме-ной 1-го, 2-го, 3-го столбца соответственно столбцом из координат вектора .
2.1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

где - угол между векторами и .
При этом длина вектора определяется по формуле
. (1.2)
2.2. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , , образуют правую тройку, и длина вектора равна
Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах
и .
В координатной форме
. (1.3)

2.3. Смешанное произведение трех векторов
, , есть число, равное
. (1.4)
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построен-ного на векторах , , .

2.4. Общее уравнение плоскости Р имеет вид

где - вектор, нормальный (перпендикулярный) плоскости (рис.2).
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , записывается в виде
. (1.5)
Угол  между двумя плоскостями с нормальными векторами и определяется по формуле .
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид
. (1.6)

2.5. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и , имеет вид
. (1.7)

3. Уравнение прямой на плоскости в виде называется уравнением с угловым коэффициентом k. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно –1, т.е. ; если они параллельны, то .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку , имеет вид .
4. Пусть L – некоторая линия, каждая точка М которой обладает следующим свойством: отношение расстояний от точек L до данной точки F и до данной пря-мой (d) равно числу , т.е. . Число  называется экс-центриситетом. Если  < 1, то множество точек L определяет эллипс: .
Если  > 1, то L – гипербола: .
Если  = 1, то L – парабола: .

Решение практических задач

2. Даны четыре вектора (а1, а2, а3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
(3,-5,2), (4,5,1), (-3,0,-4), (-4,5,-16).

Решение. Чтобы проверить, что система векторов образует базис, надо найти ее ранг. Для пространства V3 ранг системы векторов должен равняться 3.

rang(A)=3.
Следовательно, тройка векторов является базисом.
Составим систему уравнений (1.1) в координатном виде и найдем . Определитель найден выше и = -95.

Имеем ; ; .
Значит, .

12. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
А1(3,3,9), А2(6,9,1), А3(1,7,3), А4(8,5,8).

Решение. 1. Находим координаты вектора . Длина ребра А1А2 равна модулю вектора и вычисляется следующим образом:
по формуле (1.2).
2. Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения. , ; . Поэтому ,
3. Угол между ребром и плоскостью - это угол между век-тором и его ортогональной проекцией на грань .
Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и (1.3):
. (Здесь . Как и в предыдущем пункте, находим ,
.
4. Площадь грани находим, используя геометрический смысл век-торного произведения
.

5. Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля сме-шанного произведения векторов , , (формула 1.4).
.

6. Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой (1.7), где - координаты точки , - координаты точки .
.
В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть запи-саны и в виде
или , т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.

7. Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой (1.6), где - координаты , - координаты , - ко-ординаты .

8. Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой , где - точка, лежащая на искомой пря-мой,; - координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

9. Сделаем чертеж

22. На прямой 2x+y+11=0 (1) найти точку, равноудалённую от двух данных точек A(1,1) и B(3,0).

Решение. Геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В – посрединный перпендикуляр к отрезку АВ. Найдем уравнение прямой АВ:

АВ:
Вектор, нормальный к прямой АВ - . Точка С – середина отрезка АВ имеет координаты С (2; 0,5). Тогда прямая, содержащая посрединный перпендику-ляр к отрезку АВ задается с помощью точки С и направляющего вектора :

(2)
Найдем точку пересечения прямых (1) и (2):

Таким образом, на прямой 2x+y+11=0 равноудалённой от двух данных точек A(1,1) и B(3,0) является точка с координатами ( ; ).

32. Построить на плоскости область решений системы линейных нера-венств

Решение. Чтобы решить неравенство , рассмотрим прямую . Она проходит через две точки и . При
неравенство является неверным. Следовательно, ему удовлетворяют все точки, лежащие ниже прямой и на прямой.
Для решения второго неравенства строим прямую , проходящую через точки и . Точка удовлетво-ряет неравенству , следовательно, ему удовлетворяют все точки, ле-жащие ниже прямой и на этой прямой. Находим точку А пересе-чения прямых и , решая систему
.
Наконец, решаем неравенство . Для этого строим прямую , проходящую через точки и . Точка (0;0) не удовлетво-ряет этому неравенству, поэтому его решением является множество точек плоско-сти выше прямой и на самой прямой.
Решая системы уравнений
и , находим координаты точек и . Данной системе неравенств удовлетворяют все точки внутри треуголь-ника АВС и на его границе.

42. Составить уравнение линии, каждая точка которой находит-ся вдвое дальше от точки A(3,0), чем от оси ординат.

Решение. Обозначим произвольную точку искомой линии . Тогда по условию , где Р - основание перпендикуляра из точки М к оси ординат. Но . Значит, . Воз-водя в квадрат, получаем Это кано-ническое уравнение гиперболы с действительной полуосью и мнимой по-луосью и центром – (-1;0).