БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет Специальность
Контрольная работа № 1 по дисциплине «Высшая математика» Вариант № 6
Выполнил студент: группа Зачетная книжка Электронный адрес
Минск 2017 Задача 6 Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. ; ; ; . Решение:
Так как , то векторы некомпланарны и образуют базис. Система уравнений в координатном виде , где координаты в базисе Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.
Ответ:
Задача 16 Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертёж. , , , . Решение: 1) Найти длину ребра : Длина ребра равна расстоянию между точками и
2) Найти угол между ребрами и : Угол между ребрами и вычисляется по формуле:
3) Найти угол между ребром и гранью : Угол между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .
Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и и
Векторное произведение:
Тогда синус угла равен:
4) Найти площадь грани : Площадь грани будет численно равна половине модуля векторного произведения:
5) Найти объём пирамиды: Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле:
6) Найти уравнения прямой : Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . => - каноническое уравнение
7) Найти уравнение плоскости : Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки . =>
- уравнение плоскости 8) Найти уравнения высоты, опущенной из вершины на грань : Нормальный вектор = (–8, 8, 20) является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку , следовательно уравнение высоты имеет вид:
Сделаем схематический чертеж:
Задача 26 Составить уравнение линии, для каждой точки расстояния от начала координат и от точки А(0,5) относятся, как 3:2. Решение: Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния: d = = – расстояние от начала координат до произвольной точки кривой; d = = – расстояние от точки А до произвольной точки кривой. Тогда: или ;
Ответ:
Задача 36 Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение: 1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду: = [умножаем первую строку на -4, вторую на 7 и складываем их, умножаем первую на -2, третью на 7 и складываем их ] = = [умножаем третью строку на 97, вторую на -31 и складываем их] = Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями: . Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна. Тогда получим систему:
Тогда получим решение: x3 = -3; x2 = -4; x1 =2. 2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = . Тогда X = A-1B.
Вычислим обратную матрицу .
Тогда A-1 = Получим X = A-1B = = = .
Ответ: x3 = -3; x2 = -4; x1 =2.
Задача 46 Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений:
Решение: Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду: = [умножаем первую строчку на -2 складываем со второй, умножаем первую на -1 и складываем с третьей] = = [умножаем вторую на 1 и складываем с третьей] = . Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями: . Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна. Тогда получим систему:
Пусть х3=t, тогда получим решение: х4=0, x3 = t; x2 = ; x1 = , где t – любое число. Ответ: х4=0, x3 = t; x2 = ; x1 = , где t – любое число. Задача 56 Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:
Решение: Характеристическое уравнение имеет вид:
1=-2, 2=1, 3=9 – собственные значения линейного преобразования. Для 1=-2 найдём собственный вектор.
Собственный вектор для 1=-2 имеет вид (0;m;0). Для 2=1 найдём собственный вектор.
Собственный вектор для 2=1 имеет вид ( ; ;t). Для 3=9 найдём собственный вектор. . Собственный вектор для 3=9 имеет вид (s; ; s). Ответ: Собственный вектор для 1=-2 имеет вид (0;m;0), собственный вектор для 2=1 имеет вид ( ; ;t), собственный вектор для 3=9 имеет вид (s; ; s). Задача 56 Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:
Запишем данное уравнение в виде: Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду. Запишем характеристическую матрицу:
Её корнями являются значения 1=1, 2=10. Для 1=1 найдём собственный вектор. , где t – любое число. Собственный вектор-столбец для 1=1 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец. Для 2=10 найдём собственный вектор. , где s – любое число. Собственный вектор-столбец для 2=10 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец. Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу . Базисными векторами новой системы координат являются:
В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:
Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.
