Теоретическая часть 16. Теорема Кэли. Теорема о мономорфизме из Sn в GLn(Q). 23. Главный левый, правый, двусторонний идеалы кольца. Кольцо главных идеалов. Теорема об идеалах кольца целых чисел. Максимальный идеал. Критерий максимальности идеала кольца целых чисел.
Практическая часть Задача №1 Какую алгебраическую систему (группоид, полугруппу, моноид, группу) образует множество G относительно заданной операции? Является ли данная алгебраическая система абелевой? Множества и операции указаны ниже в соответствии с вариантами. - множество всех биективных преобразований множества N, каждое из которых перемещает лишь конечное множество чисел, относительно операции композиции функций
Задача №2 Разложить подстановку f ∈ S8 в произведение независимых циклов и транс-позиций. Определить для f характер четности и порядок в группе S8. Построить циклическую подгруппу < f >. Является ли < f > нормальной подгруппой в S8? Подстановки f даны в табл. 13 в соответствии с вариантами.
Задача №3 Построить факторгруппу группы (mZ, +) по подгруппе (nZ, +), где m и n –натуральные числа, причем m делит n, задав индуцированную операцию таблицей Кэли. Является ли факторгруппа абелевой и циклической (обосновать)? Найти все образующие элементы факторгруппы как циклической группы. Зна-чения m и n даны в табл. 14 в соответствии с вариантом m n 7 49
Задача №4 Пусть |< a >| = m, |< b >| = n – заданные порядки двух циклических групп. Построить все гомоморфизмы групп f : < a > < b >. Описать ядро и образ каждого гомоморфизма. Указать все мономорфизмы, эпиморфизмы и изоморфизмы, если они существуют. Значения m и n даны в табл. 15 в соответствии с вариантом. m n 70 49
Задача №5 Алгоритм RSA. Задан открытый ключ (n, e) и зашифрованное сообщение – число m. Найти секретный ключ d и дешифровать сообщение – найти число c (1 c n – 1). Значения n, e и m даны в табл. 16 в соответствии с вариантом. n e m 4429 25 10
Задача №6 Выяснить, является ли множество K с двумя заданными на нем бинарными алгебраическими операциями кольцом, ассоциативным, коммутативным кольцом, кольцом с единицей, телом, полем. Множества и операции указаны ниже в соответствии с вариантами. булеан фиксированного непустого множества V относительно операций объединения и пересечения множеств
Задача №7 Найти НОД полиномов f(x) и g(x) над полем P по алгоритму Евклида. По-линомы f(x), g(x) и поле P указаны в табл. 17 в соответствии с вариантом. f(x) g(x) P x6 + x5 + 2x3 + 2x2 + x x4 + 2x3 + x2 + 2x F3
Задача №8 Для заданного n найти все идеалы кольца Z/nZ, расположить их в порядке включения, указать максимальные идеалы. Значения n указаны в табл. 18 в соответствии с вариантами. n = 36
Задача №9 Разложить полином f(x) P[x] на неприводимые множители над полем P. Является ли неприводимым над полем P полином f(x) и максимальным идеал (f(x)) в кольце P[x]? Построить факторкольцо P[x]/(f(x)), задав индуцированные операции таблицами Кэли. Является ли данное факторкольцо полем? Найти характеристику P[x]/(f(x)). Полином f(x) и поле P указаны в табл. 19 в соответствии с вариантом. f(x) P x3 + x2 + x + 1 F2
