Задание 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла.
Решение: Построим график заданных границ.
Парабола пересекает прямую в точках А и В координаты которых находятся из системы уравнений
Точка А имеет координаты и В . Удобнее внешней переменной интегрирования выбрать . Тогда . Ответ: .
Задание 2. Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам.
Решение: Перейдем к полярным координатам
Ответ: .
Задание 3. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями, с помощью тройного интеграла.
Решение: Сделаем чертеж.
. Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам: где , , . Получим:
. Ответ: .
Задание 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль заданной линии . дуга кривой от точки 0(0;0) до А(1;2). Решение: Из уравнения линии интегрирования находим . Вычислим криволинейный интеграл, переходя к определенному с переменной интегрирования y:
Ответ:
Задание 5. Найти поток векторного поля через заданную поверхность .
Решение: Изобразим поверхность .
Так как поверхность замкнута, то применим формулу Остроградского: ; где – тело, ограниченное поверхностью . Поле определено и дифференцируемо на всем пространстве и его . Перейдём к цилиндрическим координатам ( , , ).
. Ответ: .
Задание 6. Проверить, будет ли потенциальным и соленоидальным поле F. В случае потенциальности поля найти его потенциал U (x,y,z).
Решение: Найдем по формуле
Итак, поле потенциально. Для вычисления потенциала по формуле
в качестве точки возьмем начало координат. Тогда получаем
Проверим соленоидальность поля, вычислив
Значит поле не является соленоидальным. Ответ: векторное поле является потенциальным и не является соленоидальным, его потенциал .
