Задание 1. Найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив почленно на , получим
где . Потенцируя последнее равенство, получим и, освобождаясь от модуля, получим или , где С – произвольная постоянная, отличная от нуля (как положительная, так и отрицательная). Разделив на , мы могли потерять решения, обращающие в нуль произведение . Полагая , находим, что . Непосредственная подстановка их в уравнение показывает, что они не являются решениями. Таким образом, все решения содержатся в общем интеграле , что и является ответом. Ответ: .
Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Решение:
Так как , то это уравнение в полных дифференциалах. Тогда . Найдем ; ; . Окончательно – общий интеграл дифференциального уравнения. Ответ: .
Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Решение: Для заданного уравнения Бернулли , поэтому сделаем подстановку . Дифференцируя обе части уравнения, получим . Разделим обе части исходного дифференциального уравнения на : . Введем замену: Подставляя и , находим: , . Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем искать его решение в виде
Подставив и в исходное уравнение, получим
Запишем систему:
, т.е. рассматриваем частное решение. подставим во второе уравнение системы.
Заменяя , получили общее решение дифференциального уравнения . Разделив на , мы могли потерять решения, обращающие в нуль . Полагая , находим, что . Непосредственная подстановка в уравнение показывает, что он не является решением. Таким образом, все решения содержатся в общем решении . Находим частное решение : . Исходное частное решение имеет вид . Ответ: .
Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Решение: Рассмотрим соответствующее однородное линейное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид . Корни уравнения различны и действительны. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Правая часть исходного уравнения , т.е. не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде . Для нахождения коэффициентов продифференцируем дважды и подставим в первоначальное уравнение: , . После приведения подобных членов получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождественного равенства, получим . Таким образом, и общее решение данного уравнения имеет вид: . Чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям , продифференцируем общее решение
и решим относительно и систему уравнений . Исходное частное решение имеет вид . Ответ: .
Задание 5. Найти общее решение системы уравнений (рекомендуем решать с помощью характеристического уравнения).
Решение: Применим метод исключения. Для этого дифференцируем первое уравнение по t . Из первого уравнения выражаем
и, подставив в предыдущее уравнение, получим . Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение , корни которого . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид . Находим
