МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 2 ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Вариант №6
Пример 1. Найдите производную функции
Решение. Внешней функцией здесь служит степенная функция. Таким образом, получим
Ответ:
Пример 2. Найдите производную функции . Решение.
Ответ:
Пример 3.Найти производную функции . Решение.
Ответ:
Пример 4. Найдите производную функции . Решение. Логарифмируя это равенство по основанию получаем . Дифференцирую получаем , откуда
Ответ:
Пример 5. Найдите производную функции. Решение. Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию переменной х, и решим полученное уравнение относительно .
. Ответ:
Пример 6. Разложите функцию по формуле Тейлора по степеням до члена включительно. Остаточный член запишите в форме Пеано. Решение. Разложение необходимо получить в окрестности точки , для этого воспользуемся формулой:
При . Находим: ; . ; . ; . Дополнительно вычисляем . Подставляя найденные значения, получаем разложение с остаточным членом в форме Пеано:
Ответ:
Пример 7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Решение. Найдём критические точки данной функции:
у'=0 при ; ; При получаем корень Эта точка принадлежит отрезку . Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
Ответ: при ; при.
Пример 8.Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
Решение. 1) Область определения функции . 2) Функция не является чётной или нечётной. 3) Найдём точки пересечения графика с осью ОХ. Имеем ; . 4) Точкой разрыва является , причем
следовательно, прямая является вертикальной асимптотой графика. Найдем наклонные асимптоты:
Наклонная асимптота имеет уравнение . 5) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы возрастания и убывания. Имеем
Существуют критические точки , . В промежутках , . Следовательно, функция возрастает на промежутке , функция убывает на промежутке . Далее, находим ; , следовательно, – точка минимума, . 6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба. Так как , то график функции выпуклый на промежутке . Так как , то график функции вогнут на промежутке . Точка перегиба . 7) Строим график функции:
Пример 9. Найдите все частные производные первого порядка функции пяти переменных .
Решение.
Пример 10. Дана функция . Найдите градиент функции в точке и производную функции в направлении вектора . Решение. Градиент функции двух переменных находится по формуле
Найдём частные производные функции u в точке М:
Значит,
Производная по направлению вектора a в точке М находится по формуле
Частные производные в точке М найдены выше. Для нахождения направляющих косинусов вектора направления найдём единичный вектор для вектора a:
Где Отсюда
Таким образом,
Ответ:
Пример 11. Исследуйте на экстремум функцию двух переменных
Решение. Найдём частные производные и составим систему уравнений для нахождения стационарных точек:
Значит, система уравнений для отыскания стационарных точек имеет вид
Решив систему, получим одну стационарную точку P(1;2). Найдем производные 2-го порядка:
Составим дискриминант и значит, в точке P(1,2) функция имеет локальный минимум ; Ответ: P(1;2) – точка локального минимума
Пример 12. С помощью функции Лагранжа найдите экстремум функции при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению . Решение. Составляем функцию Лагранжа:
Имеем
Необходимые условия дают систему уравнений
Решив систему, найдем:
Находим
Значит,
В точке функция имеет условный максимум Ответ: – точка условного максимума, .
