Контрольная работа 7. Дифференциальные уравнения 302. Найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка. . Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив почленно на , получим
где . Потенцируя последнее равенство, получим и, освобождаясь от модуля, получим или , где С – произвольная постоянная, отличная от нуля (как положительная, так и отрицательная). Разделив на , мы могли потерять решения, обращающие в нуль произведение . Полагая , находим, что . Непосредственная подстановка их в уравнение показывает, что они не являются решениями. Таким образом, все решения содержатся в общем интеграле , что и является ответом.
312. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Решение.
Так как , то это уравнение в полных дифференциалах. Тогда . ; ; . Окончательно: – общий интеграл дифференциального уравнения.
322. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка. ; . Разделив почленно на , получим: . Данное уравнение является уравнением Бернулли. Введем замену:
получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Замена:
Запишем систему:
- здесь , т.е. рассматриваем частное решение. - подставим во второе уравнение системы.
Заменяя , получили общее решение дифференциального уравнения. . Разделив на , мы могли потерять решения, обращающие в нуль . Полагая , находим, что . Непосредственная подстановка в уравнение показывает, что он не является решением. Таким образом, все решения содержатся в общем решении: . Находим частное решение : . Исходное частное решение имеет вид .
332. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям. , Решение. Рассмотрим соответствующее однородное линейное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид . Корни уравнения различны и действительны. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .Правая часть исходного уравнения , т.е. не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде . Для нахождения коэффициентов продифференцируем дважды и подставим в первоначальное уравнение: , . После приведения подобных членов получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождественного равенства, получим . Таким образом, и общее решение данного уравнения имеет вид . Чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям , продифференцируем общее решение
и решим относительно и систему уравнений . Исходное частное решение имеет вид .
342. Найти общее решение системы уравнений (рекомендуем решать с помощью характеристического уравнения).
Решение. Применим метод исключения. Для этого дифференцируем первое уравнение по t . Из первого уравнения выражаем и, подставив в предыдущее уравнение, получим . Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение , корни которого . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид . Находим
