Задача 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Решение: Несобственный интеграл с верхним бесконечным пределом определяется равенством . Применим метод подведения под знак дифференциала:
Таким образом, интеграл сходится. .
Задача 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв в точке , т.е. на конце промежутка . Следовательно, интеграл относится к несобственным интегралам второго рода и вычисляется следующим образом:
Таким образом, интеграл расходится.
Задача 9. Вычислить длину полукубической параболы от точки до точки . Решение: Длина дуги кривой , ограниченной точками с абсциссами и , определяется по формуле:
Дифференцируя уравнение кривой, получим:
Вычислим дифференциал длины дуги:
Определим длину дуги кривой, вычисляя определенный интеграл:
