Решение: По правилу дифференцирования дроби получим: По правилу дифференцирования сложной функции получим:
Задача 2. Найдите производную функции
Решение: По правилу дифференцирования сложной функции получим:
Задача 3. Найдите производную функции
Решение: По правилу дифференцирования сложной функции получим:
Задача 4. Найдите производную функции
Решение: Логарифмируя равенство , получим:
Дифференцируя обе части, находим
Задача 5. Найдите производную функции
Решение: Так как зависимость между переменными и задана в неявном виде, то для нахождения производной достаточно продифференцировать обе части уравнения, считая функцией от , и из полученного уравнения найти
Задача 6. Разложить функцию по формуле Тейлора по степеням до члена включительно. Остаточный член записать в форме Пеано.
Решение. Ряд Тейлора для функции с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
В нашем случае: . . . . Получаем:
Задача 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].
Решение. a) Находим критические точки функции:
. b) В данный нам промежуток входит только точка: . c) Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
, . Сравнивая полученные значения, получаем: – наибольшее значение функции, –наименьшее значение функции.
Задание 8. Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования. . Решение. Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва; 3) исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность; 4) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 5) исследовать функцию на монотонность и экстремум; 6) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба; 7) найти асимптоты графика функции; 8) по полученным данным построить график функции. Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции. 1) . 2) Функция не определена в точке . Следовательно, есть точка разрыва функции. Исследуем характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке:
Следовательно, – точка разрыва второго рода; 3) . Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая. 4) С осью Ох: . Точка – точка пересечения с осью Ох. С осью Оу: . Точка – точка пересечения с осью Оy. 5) Находим производную.
при и не существует при . Критическая точка: .
+ – +
-2 1 Функция возрастает на интервалах ; убывает – на интервале .
6) Находим вторую производную.
при и не существует при . Критическая точка второго рода: .
+ –
2,5 Функция выпукла на интервалах , вогнута функция на интервале . Точка перегиба , . 7) Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты
Тогда - горизонтальная асимптота 8) По полученным данным строим график функции.
Задача 9. Найдите все частные производные первого порядка функции пяти переменных .
Решение. Найдем частные производные данной функции:
Задача 10. Дана функция , точка М(х0 , y0) и вектор а. Найдите градиент функции в точке М и производную функции в точке М по направлению вектора а.
Решение. Найдем частные производные данной функции: ; . ; . 1) Градиент функции в точке вычисляется по формуле . Тогда: . 2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле , где – направляющие косинусы вектора . Если , то , . Тогда , ; Следовательно, .
Задача 11. Исследовать на экстремум функции двух переменных.
Решение. Найдем частные производные данной функции: ; . Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции:
Получаем:
Точка – точка экстремума. Находим выражения:
Определяем характер точки экстремума: В точке : Тогда Так как и то в точке экстремум минимум. Тогда .
Задача 12. Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа Решение. Составим функцию Лагранжа: . Составим систему уравнений, реализуя необходимые условия экстремума:
