Задача 1. Найдите производные и функции, заданной явно. . Решение. Используя основные правила дифференцирования, получим:
Задача 2. Найдите производные и функции, заданной параметрически . Решение. Первая производная функции, которая задана параметрически, определяется по формуле . Получим:
Для нахождения второй производной обозначим , тогда
Находим
Таким образом,
Задача 3. Найдите точки экстремума функции. . Решение. Находим критические точки функции:
Исследуем точку : Находим: . . Так как не равна нулю производная четного порядка, то в точке заданная функция имеет экстремум, а именно минимум, так как: . Исследуем точку : Находим: . Так как не равна нулю производная четного порядка, то в точке заданная функция имеет экстремум, а именно максимум, так как: .
Задача 4. Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования. . Решение. 1) . 2) точек разрыва нет. 3) . Функция не является четной и не является нечетной. Функция не периодическая. 4) С осью Ох: . Точка - точка пересечения с осью Ох С осью Оу: –точек пересечения нет. 5) Находим производную.
при . Исследуем знак производной функции на промежутках .
– + 0
Функция возрастает на интервале ; убывает – на интервале .
6) Находим вторую производную.
при . при – кривая выпуклая. при – кривая вогнутая. Точка перегиба.
7) Вертикальных асимптот нет, т.к. не точек разрыва второго рода. Найдем наклонные асимптоты
Тогда наклонных асимптот нет. 8) По полученным данным строим график функции.
Задача 5. Вычислите предел с помощью правила Лопиталя-Бернулли.
Решение. Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим . Тогда . (1) Вычислим вспомогательный предел с помощью правила Лопиталя:
Искомый предел согласно (1) равен .
Задача 6. Дана функция . Показать, что Решение. При нахождении частной производной по переменной х величину у будем рассматривать как постоянную:
При нахождении частной производной по переменной у величину х будем рассматривать как постоянную:
Находим частные производные второго порядка:
Тогда
Следовательно, функция удовлетворяет заданному равенству.
Задача 7. Дана функция z=f(x,y). Найдите полный дифференциал этой функции, если х, у – независимые переменные и при условии, что х, у являются функциями независимых переменных u, v: , , , Решение. Дифференцируем, применяя правила дифференцирования и таблицы производных: .
Находим: . . , , , . Получаем:
Полный дифференциал:
Задача 8. Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной функцией z=f(x,y), или к поверхности нулевого уровня для функции в точке . , . Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке составляется по формуле: .
Находим частные производные:
Находим:
Тогда уравнение касательной плоскости: . Уравнение нормали к поверхности в точке составляется по формуле:
Получаем: – уравнение нормали к поверхности. Ответ: – уравнение касательной плоскости, – уравнение нормали к поверхности.
Задача 9. В некоторой области D задано скалярное поле u=f(x,y). Найдите уравнения линий уровня скалярного поля и определите тип этих линий. Найдите градиент скалярного поля. . Решение. Линией уровня функции двух переменных z(x;y) называется совокупность точек, в которых u=f(x,y)=с.
Следовательно, искомая функция уровня: – это совокупность эллипсов. Найдем частные производные данной функции: ; . Градиент функции в точке вычисляется по формуле . Тогда: .
