Задача 1
Даны два вектора и , выраженные в виде линейной комбинации векторов и . Найдите: а) и ; б) скалярное произведение ; в) угол между векторами и ; г) длину третьей стороны и площадь треугольника, построенного на векторах и .
Задача 2
Дана точка М – вершина треугольной пирамиды и три вектора , образующие её боковые рёбра. Найдите: а) уравнение плоскости основания пирамиды; б) угол между гранью, образованной векторами , и плоскостью основания; в) угол между ребром, образованным вектором , и плоскостью основания; г) уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание; д) объём пирамиды.
2.08. M(-1;-1;4), a ⃗(2;-3;1), b ⃗(3;-2;2),c ⃗(1;-1;5)
Задача 3.
Найдите координаты точки M', симметричной точке M(3;3;3) относительно плоскости 8x+6y+8z–25=0.
Задача 4.
4.08. Составьте уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек равен 2. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте её.
Задача 5
Вычислите определитель 5-го порядка методом Гаусса.
Задача 6.
Решите матричное уравнение.
Задача 7
Образует ли заданное множество векторов с естественными операциями сложения и умножения на число линейное пространство?
Задача 8
В декартовой прямоугольной системе координат заданы вектор и плоскость р. Найдите: а) вектор – проекцию вектора на плоскость р методами аналитической геометрии; б) матрицу геометрического оператора проецирования произвольного вектора на плоскость р и с её помощью координаты вектора .
8.08. u ⃗(2;-8;6), p: -x-z=0
Задача 9
Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.
Задача 10
Для заданной системы линейных уравнений проверьте выполнение условий теоремы Кронекера-Капелли. Если система совместна, то найдите её общее решение, укажите размерность и базис пространства решений.
