Даны четыре вектора , , и , заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Дано: , , и ,
Решение: 1) Найдем вектор ; для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора вычтем вектор . В результате вычитания получим . Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то
2) Векторное произведение двух векторов можно вычислить, используя формулу , где – координаты вектора a, – координаты вектора b. По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведении равно:
Окончательно получаем, что вектор, равный векторному произведению , имеет координаты . Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим: , ,
Значит, векторы , , некомпланарны и образуют базис, в котором вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, а именно Запишем это равенство в координатном виде: , где - неизвестные координаты вектора в базисе , , . Будем решать эту систему уравнений по формулам Крамера. Для этого найдем определители . , так как .
; ; По формулам Крамера вычисляем:
Значит .
Задание № 2
Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти: 1) длину ребра ; 2) уравнения прямой ; 3) угол между ребрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объѐм пирамиды; 9) сделать чертеж. Дано: ; ; ; .
Решение: 1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле , где - координаты точки , - координаты точки . Таким образом, вычисляем: .
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда уравнение прямой имеет вид , т.к. , то уравнение прямой в каноническом виде записать нельзя. Составим параметрическое уравнение прямой:
- направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор ; - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки . ; В итоге получаем параметрическое уравнение прямой: .
3) Угол между ребрами и вычисляется по формуле , где – скалярное произведения векторов и . Находим: ; ; ; . Поэтому .
4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .
5) Угол между ребром и плоскостью определяется по формуле , где – направляющий вектор прямой , то есть , а – нормальный вектор плоскости . Из пункта 3 имеем , из пункта 4 получаем . Таким образом, . Отсюда получаем, что .
6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой
прямой; - координаты направляющего вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , из которой по условию задачи должна быть опущена высота на плоскость , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем . 7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:
Находим векторное произведение векторов и :
Таким образом, .
8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится
по формуле .
Таким образом, . 9) Сделаем чертеж:
Рисунок 1.1 Задание 3
Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
Решение: Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть : . Теперь найдем центр симметрии – точку пересечения прямой L и плоскости Р. Для этого запишем уравнение прямой L в параметрическом виде: . Подставим эти уравнения в общее уравнение плоскости Р и получим , . Подставив полученное значение параметра в параметрические уравнения прямой L, получим координаты точки – точки пересечения прямой L с плоскостью Р. Но так как N – середина отрезка , то . Таким образом, точка имеет координаты .
Задание 4
Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое меньше расстояния до прямой . Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.
Решение: Обозначим произвольную точку искомой линии как . Тогда по условию получаем, что , где точка Р – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую . Находим: ; .
Значит, . Возведя обе части этого соотношения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получаем: . Это каноническое уравнение эллипса с полуосями и центром в начале координат. Полученный эллипс изображѐн на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 Задание 5
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить еѐ тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы). Дано: .
Решение Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем еѐ определитель:
.
Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители, которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.
Далее по формулам Крамера вычисляем: . Таким образом, система имеет единственное решение .
2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей. Составим расширенную матрицу системы: . Теперь приведѐм еѐ путѐм элементарных преобразований к трапециевидному виду. Для этого от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2: , 2-ую строку делим на -1: , от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 3: , 3-ую строку делим на -3: , от 1 строки отнимаем 3 строку: , Таким образом: .
3) Решим систему матричным методом. Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или , где - алгебраические дополнения элементов матрицы А:
; . Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид . Проверим правильность вычисления обратной матрицы. Исходя из определения обратной матрицы, находим
. Значит, матричное решение системы имеет вид . Отсюда следует, что .
Задание 5
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Решение: Исследуем систему на совместность (применим критерий КронекераКапелли). Для этого составим расширенную матрицу системы для определения еѐ ранга и ранга матрицы коэффициентов: ; Находим ранг r расширенной матрицы:
; Отсюда в полученной матрице расположены 2 ненулевые строки. Выпишем укороченную систему, полученную после преобразований: ; Эта система имеет бесчисленное множество решений, так как ранг матрицы меньше числа неизвестных. Выберем в преобразованной матрице базисный минор. Это Тогда неизвестные и будут базисными, а остальные – свободными. Свободные неизвестные перенесем в правую часть уравнений системы: ; Ясно, что базисные неизвестные зависят от того, какие значения имеют свободные неизвестные и Обозначим , где и – это произвольные значения свободных неизвестных, т. е. любые числа. Тогда укороченная система имеет вид: ; Подставим в первое уравнение . Таким образом, решение системы, которое в данном случае называют общим, имеет вид , , , . Решение системы (общее или единственное) можно записать в виде матрицы-строки
Задание 6
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
Решение Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
; ; ; . Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А. При система имеет вид: ,
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор ; Здесь – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде . Аналогично система имеет вид: ; Значит, собственному значению соответствует собственный вектор ; Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид . Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор . Приняв , получим собственный вектор в виде . Таким образом, матрица А имеет три собственных значения , , , а соответствующие им собственные векторы имеют вид: .
Задание 7
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить еѐ в декартовой системе координат. Дано: .
Решение: В уравнении заданной кривой присутствует квадратичная форма следующего вида: . Составим матрицу данной квадратичной формы и найдѐм еѐ собственные значения: . Корнями характеристического уравнения являются числа и . Им соответствуют собственные векторы и . Нормируя собственные векторы, разделив каждую координату на длину вектора, получим , где длина вектора ; , где длина вектора
Матрица перехода Т к новому базису имеет вид ; В соответствии с соотношением вводим замену переменных . Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
; После преобразования выражения получим , или или . Введя замену , , получим уравнение эллипса
в системе координат . График полученной эллипса приведен на рисунке 1.3.
Рисунок 1.3 Задание 8
Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить еѐ график. Дано:
Решение: Выделив полный квадрат в заданной функции, получим
; Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции получают путем переноса графика вверх или вниз вдоль оси OY на в зависимости от знака b, график функции получается параллельным переносом графика при в положительном направлении оси ОХ на с, и в отрицательном направлении этой оси при , а график функции получается растяжением графика вдоль оси ОY в А раз при или сжатием вдоль этой оси в А раз при . Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы в точку и затем растянув параболу в 2 раза вдоль оси OY. Для построения графика найдем координаты дополнительных точек для функции , составим таблицу:
Рисунок 1.4
Задание 9
Задана функция на отрезке . Требуется: 1) Построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) Найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии. Дано: .
Решение:
1) Составим таблицу значений:
Из таблицы видно, что при точек линии нет так как . Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы. Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии (рисунок 1.5):
Рисунок 1.5 2) Подставляя в уравнение заданной линии, получим:
; Искомое уравнение – это уравнение параболы с вершиной в т. . График пересекает ось Х в т. . Координаты т. .
Задание 10
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. Дано: 1) ; 2) ; 3) .
Решение: 1) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределѐнности вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . Получим: , где при функции , , , и – бесконечно малые функции равные 0.
2) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, т.е. имеем неопределенность . Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на :
; Применив формулу второго замечательного предела получим:
Задание 11
Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции. Дано: .
Решение: 1) Подстановка приводит к неопределѐнности типа , то есть, числитель и знаменатель являются бесконечно малыми функциями. Преобразуем предел , заменим функции в пределе эквивалентными выражениями : .
2) Подстановка приводит к неопределѐнности типа , то есть, числитель и знаменатель являются бесконечно малыми функциями. Однако аргумент наткрального логарифма и аргумент синуса не являются бесконечно малыми функциями при , что не позволяет применить эквивалентные функции, приведенные в таблице в теоретическом разделе. Введѐм замену переменной , тогда при . Преобразуем выражение:
Здесь мы воспользовались соотношениями , и эквивалентными функциями ; ; .
Задание 12
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертѐж. Дано: .
Решение Функция определена на участке , и имеет подозрительный разрыв в точке x=2. Вычислим односторонние пределы в подозрительных точках: ;
Итак в точке x=2 функция имеет разрыв 2-го рода. Построим график функции (рисунок 1.6) используя дополнительные точки:
