Даны три комплексных числа 1) выполните действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости. Решение 1) а) Найдем число в в алгебраической форме. Найдем поэтапно: z22 = z34 = [(1-i)2]2 = (1 - 2i + i2)2 = (1 - 2i - 1)2 = (- 2i)2 = 4i2 = - 4
Найдем частное двух комплексных чисел по формуле:
=
Итак, б) Тригонометрическая форма комплексного числа: w = r(cos + isin), где - модуль комплексного числа, = аргумент комплексного числа Представим числа z1, z2, z3 в тригонометрической форме:
1 = (угол находится во 2-ой четверти). z1 = r1(cos1 + isin1) = 4(cos + isin )
2 = (угол находится в 3-ей четверти). z2 = r2(cos2 + isin2) = 2(cos + isin )
3 = (угол находится в 4-ой четверти). z3 = r3(cos3 + isin3) = (cos + isin ) Для нахождения z22 воспользуемся формулой Муавра: (r (cos + i sin)) n = rn (cos n + i sin n) z22 = r22(cos22 + isin22) = 22 (cos + isin ) = = Аналогично находим z34 = r34(cos42 + isin42) = ( )4 (cos + isin ) = 4(cos 7 + isin 7) = 4(cos (6 + ) + isin (6 + )) = 4(cos + i sin ) Находим
Произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме находят по формуле
Тогда Частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме находят по формуле
Тогда
в) z = r e i φ - показательная форма комплексного числа. z1 = r1 = 4e z2 = r2 = 2e z3 = r3 = e Далее воспользуемся формулой Муавра: (r ) n = r n z22 = 22 e Аналогично находим z34 = ( )4 = 4 Находим 2) Найдем расстояние d между точками и на комплексной плоскости, которое равно модулю их разности. Разность двух комплексных чисел вычисляем по формуле: (а1 + b1 i) - (а2 + b2 i) = (a1 - a2) + (b1 - b2) i
Тогда расстояние d между точками и будет d = Ответ: 1) - алгебраическая форма; - тригонометрическая форма; z = ; 2)
Задание 17
Решить уравнение на множестве комплексных чисел. Решение Решим заданное биквадратное уравнение относительно z2: z2 = Это уравнение относительно z2 не имеет решений на множестве действительных чисел и имеет два решения (z12 = 3 + 3i и z22 = 3 - 3i) на множестве комплексных чисел. Тогда z1 = и z2 = Квадратным корнем из комплексного числа будет комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу. .Числа u и vопределим из равенств
Обозначим z1 = = u + iv. Тогда
Соответственно
Получили два значения корней:
Аналогично обозначим z2 = = w - it. Тогда
Соответственно
Получили два значения корней:
Как видим, корни λ1 и λ3, λ2 и λ4 являются соответственно сопряженными, т.к. чила z1 и z2 – сопряженные. Ответ: , ,
Задание 27 Решите систему уравнений тремя способами: 1) методом Крамера; 2) методом обратной матрицы; 3) методом Гаусса.
Решение а) Составим матрицу А системы из коэффициентов этой системы и найдем определитель матрицы: А =
∆ = =
Т.к. ∆ ≠ 0, значит ранг r(A) матрицы системы и ранг расширенной матрицы r (A) равны: r (A) = r (A) = 3. Значит, система уравнений совместна и имеет
единственное решение. Решим заданную систему по формулам Крамера. Решение системы найдем с помощью вспомогательных определителей ∆х1, ∆х2, ∆х3: х1 = ∆х1 , х2 = ∆х2, х3 = ∆х3 ∆ ∆ ∆ ∆х1 = = ∆х2 = =
∆х3 =
=
Найдем корни уравнения:
х1 = ∆х1 = -18 = 3 ∆ - 6
х2 = ∆х2 = - 6 = -1 ∆ - 6
х3 = ∆х3 = 18 = -3 ∆ - 6
б) Решим данную систему методом Гаусса, для чего проведем последовательных элементарных преобразований строк расширенной матрицы, стремясь к тому, к тому, чтобы каждая строка, кроме первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей. Представим систему в виде расширенной матрицы:
Поменяем 1-ую и 3-ю строки местами:
Из 2-ой строки вычтем 1-ую, умноженную на 2. Из 3-ей строки вычтем 1-ую, умноженную на 3:
2-ую строку разделим на (-3) и поменяем ееместами с 3-ей:
матрицу системы А = матрицу- столбец неизвестных В = матрицу- столбец правых частей (свободных членов) С =
Тогда систему можно записать в матричном виде: АВ = С, а т.к. определитель матрицы А ∆ = detA = - 6 ≠ 0, то ее решение можно записать в матричном виде: В = А-1С, где А-1 - матрица, обратная к матрице А. Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы. А затем транспонируем ее, т.е. поменяем ее строки на столбцы, а столбцы на строки и найдем обратную матрицу А-1 по формуле: А-1 = , где Аij - алгебраические дополнения соответствующих элементов.
Задание 37 Даны три вектора Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая. Решение 3) Найдем смешанное произведение векторов :
Т.к. ≠ 0, значит данные векторы не компланарны. Таким образом, они линейно независимы и образуют базис. При этом, они образуют левую тройку векторов, т.к. их смешанное произведение – число отрицательное: = - 17 0. Ответ: Векторы образуют базис, тройка векторов – левая.
Задание 47 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4: Найдите: 1) угол между ребрами и 2) площадь грани 3) высоту, опущенную из вершины на грань 4) уравнение прямой, проходящей через ребро 5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань 6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотности (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см). Решение 1) Найдем направляющий вектор прямой А1А2: -. Аналогично найдем направляющий вектор прямой А1А4: - направляющий вектор прямой А1А4 . Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем как угол между векторами :
6) Массу пирамиды изготовленной из меди плотности , найдем по формуле: m = V, где V – объем пирамиды. Найдем объём пирамиды по формуле: V = , где S- площадь грани А1 А2 А3, h – высота, опущенная из вершины А4. Найдем длину высоты h как расстояние от точки А4 (2; -1; 2) до плоскости А1 А2 А3:
Задание 57 Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением : 1) на плоскости, 2) в пространстве. Решение 1) Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат: 3(х2 + 6х + 9) – у – 27 + 28 = 0 3(х + 3)2 = у – 1 (х + 3)2 = (у – 1) Введем новые координаты: х + 3 = х, у – 1 = у Тогда уравнение примет вид х ′ 2 = у′ Получили каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси ординат. Ветви ее обращены в положительную сторону оси ординат. Вершина находится в точке О′ (- 3; 1) в системе координат хОу. 2р = , р = Изобразим полученную параболу на плоскости хОу:
В пространстве данное уравнение описывает параболический цилиндр, который пересекает плоскость хОу по параболе с вершиной в точке (-3, 1, 0).
Контрольная работа №2 Задание 67 Найдите пределы последовательностей. а) б) в) Решение а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:
Разделим числитель и знаменатель на n3: = б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:
Разделим числитель и знаменатель на n3:
в) Здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом .
Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций (vn)' = n vn - 1 v ', где v = 2х3 + x в одном случае и v = - в другом случае. Получаем: Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций (arctg u)′ = - , где u = . Получим
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций , где :
б) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций , где в одном случае, и - в другом случае. Получим
Ответ: а) ; б) Задание 87 Найдите предел функции : 1) не пользуясь правилом Лопиталя; 2) используя правило Лопиталя.
Решение 1) При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность . Чтобы избавиться от нее, преобразуем выражение и воспользуемся первым замечательным пределом . Введем замену переменной: 1- x = t, x = 1 – t, , t 0 при х 1.
2) Так как имеем неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:
Ответ :
Задание 97 Дана функция . 1) вычислите все частные производные первого порядка; 2) найдите производную в точке М0 (2; 1; 1) по направлению вектора ; 3) найдите Решение 1) Находим частные производные функции u= u(x,у):
2) Находим производную по направлению вектора :
Находим направляющие косинусы вектора : cosα = cosβ = cosγ = Находим значения частных производных в точке М0:
Находим производную по направлению вектора в точке М0 (2; 1; 1):
3) Находим градиент
Ответ: 1) 2) ; 3) ;
Задание 107 Дана функция . Вычислите значение ее частной производной четвертого порядка в точке Решение Найдем частные производные:
Вычислим значение производной в точке :
Ответ: 36
Задание 107 Найдите неопределенные интегралы: а) б) в) г) Решение а)Преобразуем подинтегральное выражение
