Геометрия и алгебра Контрольная работа №2 Вариант 9
Теоретическая часть: 1. Аффинное пространство. N-мерным аффинным пространством над полем F называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам: 1. Существует по меньшей мере одна точка. 2. Каждой паре точек A,B, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через AB. 3. Для каждой точки A и каждого вектора x существует одна и только одна точка B такая, что AB=x. 4. (Аксиома параллелограмма.) Если AB=CD, то AC=BD. 5. Каждому вектору x и каждому числу aЄF поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается ax и называется произведением вектора x на число a. 6. 1x=x ждя любого вектора x 7. (a+b)x=ax+bx для всех a,bЄF 8. a(x+y)=ax+ay для любых векторов x, y. 9. a(bx)=(ab)x для всех a,bЄF 10. Существует n линейно независимых векторов, но любые n+1 векторов линейно зависимы между собой. Трехмерное пространство R3 является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел (a1, a2, a3).
Практическая часть: Задача №1 Образует ли линейное векторное пространство над полем вещественных чисел R заданное множество V, для которого определены сумма любых двух элементов a, b Î V и произведение любого элемента a Î V на любое число a Î R? Множество всех нечетных вещественных функций одной переменной t, заданных на отрезке [– 1; 1], относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
Пусть V0 - Множество всех нечетных вещественных функций одной переменной t, заданных на отрезке [– 1; 1]. Определим операции суммы функций и произведения функции на число:
. Рассмотрим V0. Введенные операции сложения двух функций и умножения функции на число превращают множество V0 в линейное пространство, векторами которого являются функции. Нулевым вектором этого пространства является нулевая функция, а равенство двух функций f и g означает, по определению, следующее: (f = g) <=> f(x) = g(x), xЄ[a, b].
Аксиомы в этом пространстве выполняются: 1°.f(t) + g(t) = g(t) + х. 2°. (х + g(t)) + z = х + (g(t) + z). 3°. 0 ЄV0, где 0=y(t), со свойством y+ 0 = 0 + y = y, yЄV0. 4°. Для любого y = y(t)ЄV0 существует элемент (–y) = -y(t)ЄV0, такой, что y + (–y) = 0. 5°. a(bx)=(ab)x, где xЄV0, и a, bЄR. 6°. 1*y(t) = y, yЄV0. 7°. (a+b)y = ay +by, yЄV0, a,bЄR. 8°. a(f + у) = af + ay, f, yЄV0, aЄR.
Ответ: V0 образует линейное пространство над R.
Задача №2 Исследовать на линейную зависимость над R систему векторов. Векторы указаны ниже в соответствии с вариантом. A(1,-1,2),b(-1,1,-1),c(2,-1,1)
Если векторы компланарны, значит они линейно зависимы. Проверим вектора на компланарность, для этого вычислим их смешанное произведение: |1 -1 2| a(b x c)=|-1 1 -1|= |2 -1 1| =1·1·1 + (-1)·(-1)·2 + 2·(-1)·(-1) - 2·1·2 - (-1)·(-1)·1 - 1·(-1)·(-1) = 1 + 2 + 2 - 4 - 1 - 1 = -1 Векторы не компланарны, так как их смешанное произведение не равно нулю, следовательно векторы не являются линейно зависимыми над R. Ответ: Векторы не являются линейно зависимыми над R.
Задача №3 Найти координаты вектора x в базисе {u1, u2, u3}, если известны его коор-динаты в базисе {e1, e2, e3}. Разложения векторов u1, u2, u3 по базису {e1, e2, e3} и координаты вектора x в этом базисе даны ниже в соответствии с вариантом.
Составим матрицу перехода от первого базиса {e1, e2, e3} ко второму {u1, u2, u3}. Столбцами матрицы T служат коэффициенты разложения векторов нового базиса по векторам старого базиса. [1 6 -1] T=[1 -1 1], X=TX1 <=> X1=T-1X [6/5 0 1]
Для нахождения обратной матрицы запишем матрицу Т, дописав к ней справа единичную матрицу:
Ответ: Координаты вектора x в базисе {u1, u2, u3} (35, -11, -41)
Задача №4 Определить размерность над R и найти какой-нибудь базис линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений. Указать общее и частное решения системы.
Найдем ранг матрицы системы с помощью элементарных преобразований: [2 -1 3 -1 -1] [1 5 -1 1 2] [1 5 -1 1 2] [1 5 -1 1 2]->[0 -11 5 -3 -5]->[0 -11 5 -3 -5] [1 16 -6 4 7] [0 11 -5 3 5] [0 0 0 0 0] rang A=2, n-r=5-2=3 Таким образом, dimV=3 и базис пространства решений состоит из трех векторов. Базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы, поэтому x1+5x2-x3+x4+2x5=0 x1=-14/11 x3+4/11 x4+3/11 x5 -11x2+5x3-3x4-5x5=0 x2= 5/11 x3-3/11 x4-5/11 x5 Таким образом, вектор-решение системы уравнений [-14/11 x3+4/11 x4+3/11 x5] [-14/11 x3] [4/11 x4] [3/11 x5] X=[ 5/11 x3-3/11 x4-5/11 x5 ]= [5/11 x3] + [-3/11 x4] + [-5/11 x5]= [x3] [x3] [0] [0] [x4] [0] [x4] [0] [x5] [0] [0] [x5]
[-14] [4] [3] =1/11 x3 [5] + 1/11 x4[-3] + 1/11 x5[5], x3, x4, x5 - произвольные числа [11] [0] [0] [0] [11] [0] [0] [0] [11] Базисные векторы-решения: V1=(-14, 5, 11, 0, 0), V2=(4, -3, 0, 11, 0), V3=(3, 5, 0, 0, 11), Ответ: dim V=3; общее решение X=C1V1 + C2V2 + C3V3, при С1=С2=С3=11 получаем х=( -7, 7, 1, 1, 1)– частное решение системы.
Задача №5 Пусть x = (x1, x2, x3). Является ли линейными преобразование A? Координаты Ax даны ниже в соответствии с вариантом. .
ax+by=a(x1,x2,x3)+b(x1,x2,x3)=(ax1+by1,ax2+by2,ax3+by3); A(ax+by)=(2(ax1+by1)-(ax2+by2), ax3+by3, (ax1+by1)+2(ax2+by2)+3(ax3+by3)4)= =(2ax1+2by1-ax2-by2, ax3+by3, ax1+by1+2ax2+2by2+3(ax3)4+ 12(ax3)3by3+18(ax3)2 * *(by3)2+12ax3(by3)3+3(by3)4)). aAx+bAy=a(2x1-x2, x3, x1+2x2+3x34)+b(2y1-y2, y3, y1+2y2+3y34)= =(2ax1-ax2+2by1-by2, ax3 +by3, ax1+2ax2+3ax34+by1+2by2+3by34) При линейности преобразования A равенство A(ax+by)=aAx+bAy должно выполняться для всех действительных a,b, что в данном случае не так. Поэтому преобразование A не является линейным.
Ответ: не является.
Задача №6 Доказать линейность, найти матрицу в базисе {i, j, k}, область значений, ядро, ранг и дефект оператора. Преобразования трехмерного векторного пространства над R указаны ниже в соответствии с вариантами. Проектирование на плоскость y – z = 0. A[x,y,z]=[x,z,z], A=diag{0,1,-1} Ее столбцы линейно независимы. Отсюда получаем im f=R3, ker f={0}, dim(im f)=3, dim (ker f)=0. Ответ: im f=R3, ker f={0}, dim(im f)=3, dim (ker f)=0.
Задача №7 Пусть x = (x1, x2, x3)T, Ax = (x2 – x3, x1, x1 + x3)T, Bx = (x2, 2x3, x1)T. Найти координаты Cx, где выражения матриц C через матрицы A и B: A + B2
Матрицы операторов Ax и Bx равны соответственно , . Матрица оператора A + B2 равна . Ответ: .
Задача №8 Найти матрицу линейного оператора в базисе {u1, u2, u3}, где u1 = e1 – e2 + e3, u2 = – e1 + e2 – 2e3, u3 = – e1 + 2e2 + e3, если она задана в базисе {e1, e2, e3}. Матрица A линейных операторов в базисе {e1, e2, e3}:
Решение: , . По определению обратной матрицы находим T–1:
Тогда получаем матрицу B:
Ответ:
Задача №9 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A.
Решение: . – собственное значение матрицы A. Найдем соответствующий ей собственный вектор. При система имеет вид . Определим ранг матрицы: . Видно, что ранг матрицы равен 3.
. Собственным вектором, соответствующим собственному значению , является . Ответ: , .
Задача №10 Привести квадратичную форму к каноническому виду над полем R методом Лагранжа, указать невырожденное линейное преобразование переменных. A=
Решение: Q(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x2x1-x22-x2x3-x3x2+4x32 Сгруппируем в слагаемые, содержащие x2. Дальнейшие преобразования таковы: Q=x12+4x1x2-x22-2x3x2+4x32=5x12-4x1x3+5x32-(x2+(x3-2x1))2= Обозначим y2=(x2+(x3-2x1))2, y1=x1, y3=x3. Получаем новую квадратичную форму f1(y1, y2, y3)=5y12-4y1y3+5y32-y22. Сгруппируем в слагаемые, содержащие y1. Q1(y1, y2, y3)=5y12-4y1y3+5y32-y22=-y22+(√5y1-2/√5y3)2+21/5y32= Таким образом, следующее невырожденное преобразование переменных приводит данную форму к каноническому виду :
Ответ: .
Задача №11 Привести квадратичную форму к каноническому виду над полем Rортогональным преобразованием, найти матрицу преобразования. Квадратичные формы даны ниже в соответствии с вариантами. x12-7x22+x32-4x1x2-2x1x3-4x2x3. Решение: – матрица квадратичной формы.
Значит, – собственные значения матрицы. Таким образом, получаем канонический вид квадратичной формы: . Далее находим собственные векторы матрицы , соответствующие ее собственным значениям. . ~; . – 1-й собственный вектор матрицы.
. ~; . – 2-й собственный вектор матрицы.
. ~; . – 3-й собственный вектор матрицы. Нормируем собственные векторы: . Последние векторы являются столбцами матрицы ортогонального преобразования: . Итак, в координатной форме ортогональное преобразование имеет вид
Ответ: ;
Задача №12 Уравнение поверхности 2-го порядка привести к каноническому виду, используя приведение к каноническому виду над R соответствующей квадратичной формы и замену переменных при параллельном переносе координатных осей. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее в пространстве OXYZ.
4x2+49y2+z2–28xy+4xz–14yz+8x–28y+4z+3=0. Решение:
Соответствующая квадратичная форма имеет вид
В соответствии с алгоритмом приведения квадратичной формы к каноническому виду имеем: 1. Матрица квадратичной формы имеет вид . 2. Находим собственные значения этой матрицы: , , . Им отвечают собственные вектора , и . Отсюда получаем нормированные собственные вектора: и . 3. Матрица ортогонального преобразования – матрица поворота координатной системы OXYZ на угол против часовой стрелки. 4. Вводим замену переменных: . 5–6. После подстановки полученных выражений для x,y и z в уравнение кривой имеем уравнение
. Вводим замену переменных, соответствующую преобразованию параллельного переноса: , ,. При этом начало координат смещается в точку . В результате искомое каноническое уравнение кривой имеет вид .
Это гиперболический параболоид в системе координат . Ответ: – однополостный гиперболоид в системе координат .
