Теоретическая часть: 1. Свойства определителей квадратных матриц. Важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель, который для матрицы An,n обозначается следующим образом:
Размерность матрицы, для которой ищется определитель, задает его порядок. Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая. Оказывается, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. Алгебраическое дополнение элемента aij задается выражением Aij=(-1)i+j*Mij Т. е., мино Mij элемента aij берется со своим знаком, если сумма его индексов четна, и с обратным, если сумма нечетна. Минором элемента определителя aij n-го порядка называется определитель порядка (n-1), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i-ой строки и j-го столбца).
Свойства определителей: 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. 2. От перестановки двух строк или двух столбцов определитель изменит только знак. 3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю. 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5. Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю. 6. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей. У одного из них элементами соответствующего столбца (строки) будут первые слагаемые, у другого – вторые. Остальные элементы у этих двух определителей те же, что и у данного. 7. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. 8. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на это число k. 9. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
2. Окружность. Эллипс. Определение. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет. Окружность — геометрическое место точек плоскости, удалённых от некоторой точки — центра окружности — на заданное расстояние, называемое радиусом окружности. Общее уравнение окружности записывается как:
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F1 и F2, расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса 2a>2c или a>c. Каноническое уравнение эллипса имеет вид: x2/a2+y2/b2=1, где a, b, c связаны между собой равенством a2+ b2 = c2. Величина 2a называется большой осью, а 2b – малой осью эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси. Обозначается буквой ε=2c/2a=c/a. Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью. Если величина эксцентриситета приближается к единице, то эллипс сильно вытянут; если же ближе к нулю, то эллипс имеет более округлую форму. Если эксцентриситет равен нулю, то эллипс вырождается в окружность
Практическая часть: Задача №1 Написать разложение вектора x по трем указанным векторам p, q, r, предварительно проверив, что они образуют базис трехмерного пространства. Координаты векторов даны ниже в соответствии с вариантом. x(3,3,-1), p(3,1,0), q(-1,2,1), r(1,1,-1).
Ответ: x=2/3p+4/9q+13/9r
Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов
|3 -1 1| |1 2 1|=-3*2*1-1*1*0+1*1*1-1*2*0-1*1*1-1*1*3=-6+0+1-0-1-3=-9≠0 |0 1 -1| Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы p, q, r линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса трехмерного пространства. x=x1a+x2b+x3c => x1*(3,1,0)+x2*(-1,2,1)+x3*(1,1,-1)=(3,3,-1) Решим систему уравнений: 3x1-x2+x3=3 x1+2x2+x3=3 0x1+x2-x3=-1
Задача №2 Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по двум заданным векторам a и b? Координаты векторов a и b и выражения c1 и c2 через них даны ниже в соответствии с вариантом. a(-2,-3,2), b(1,0,5), c1=3a+9b, c2=-a-3b c1=3a+9b=3(-2,-3,2)+9(1,0,5)=(-6,-9,6)+(9,0,45)=(3,-9,51) c2=-a-3b=-(-2,-3,2)-3(1,0,5)=(2,3,-2)-(3,0,15)=(-1,3,-17) 3/-1=-9/3=51/-17 — следовательно вектора с1 и с2 коллинеарны.
Задача №3 Найти косинус угла между векторами AB и AC. Координаты точек A, B и C даны ниже в соответствии с вариантом. A(0,1,-2), B(3,1,2), C(4,1,1). AB=a=(3-0,1-1,2+2)=(3,0,4) AC=b=(4-3,1-1,1-2)=(1,0,-1) cosα = a·b/(|a|*|b|) = (3*1+0*0+4*(-1))/(√(32+02+42)*√(12+02+(-1)2)) = -1/(√25*√2) = -1/(5√2)
Задача №4 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Выражения a и b через векторы p и q даны ниже в соответствии с вариантом. a=p-4q, b=3p+q, |p|=1, |q|=2, (p^q)=П/6.
Задача №5 Компланарны ли векторы a, b и c? Координаты векторов a, b и c даны ниже в соответствии с вариантом. a(3,2,1), b(1,-3,-7), c (1,2,3) Вычислим смешанное произведение векторов:
Задача №6 Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность и решить 1) методом Гаусса, 2) по правилу Крамера в случае единственности решения, 3) матричным методом в случае единственности решения. Системы уравнений даны ниже в соответствии с вариантами.
1) метод Гаусса Выпишем расширенную и основную матрицы: 7 -5 0 31 4 0 11 -43 2 3 4 -20 x1 x2 x3
Здесь основная матрица выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 1-ую строку на (4). Умножим 2-ую строку на (-7). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 0 -20 -77 425 4 0 11 -43 2 3 4 -20
Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (-20). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 0 0 -522 2610 0 -6 3 -3 2 3 4 -20
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной. Этот минор является базисным. 0 0 -522 2610 0 -6 3 -3 2 3 4 -20
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: -522x3 = 2610 - 6x2 + 3x3 = - 3 2x1 + 3x2 + 4x3 = - 20 Методом исключения неизвестных находим: x3 = - 5 x2 = - 2 x1 = 3 Система является определенной, т.к. имеет одно решение.
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: 7 -5 0 4 0 11 2 3 4
Вектор B: BT=(31,-43,-20) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=7*(0*4-3*11)-4*(-5*4-3*0)+2*(-5*11-0*0)=-261≠ 0 Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: AT= 7 4 2 -5 0 3 0 11 4
Задача №7 На плоскости OXY найти общие уравнения прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых перпендикулярно первой и параллельно третьей соответственно. Общие уравнения трех прямых на плоскости OXY даны ниже в соответствии с вариантом. Уравнения двух первых прямых объединены в систему.
2x + 3y – 1 = 0.
Прямые, перпендикулярные первой и параллельные третьей, будут существо-вать только в том случае, если эти прямые(первая и третья) будут перпендикулярны. Условие перпендикулярности прямых: к1к3=-1 к1=-А1/В1=-1/2 к3=-А3/В3=-2/3 к1к3=-1/2*(-2/3)=1/3≠-1 => первая и третья прямые не перпендикулярны и прямых перпендикулярных первой и параллельных третьей не существует.
Задача №8 Приведением уравнения к каноническому виду установить, что оно определяет эллипс, гиперболу или параболу. Построить соответствующую кривую 2-го порядка на плоскости OXY. Для эллипса и гиперболы найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Найти уравнения асимптот гиперболы. Для параболы найти параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы. Уравнения кривых даны ниже в соответствии с вариантами. x2 = 4y.
Данное уравнение приводится к каноническому уравнению параболы, фокус которой расположен на оси ординат x2 = 2y. x2 = 4y.
Задача №9 Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3, и расстояние от точки M0 до этой плоскости. Координаты точек M1, M2, M3 и M0 даны ниже в соответствии с вариантом. M1 (–1, 2, 4), M2 (–1, –2, –4), M3 (3, 0, –1), M0 (–2, 3, 5).
Очевидно, что множество точек M(x,y,z) определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки M1, M2, M3, тогда и только тогда, когда три вектора M1M=(x1-x,y1-y,z1-z), M1M2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) и M1M3=(x1-x3,y1-y3,z1-z3) компланарны. Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов M1M=(x1-x,y1-y,z1-z), M1M2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) и M1M3=(x1-x3,y1-y3,z1-z3), то есть, смешанное произведение этих векторов должно быть равно нулю: M1M* M1M2* M1M3. Это равенство в координатной форме имеет вид |x-x1 y-y1 z-z1 | |x+1 y-2 z-4| |x+1 y-2 z-4| |x2-x1 y2-y1 z2-z1|= |-1+1 -2-2 -4-4|= |0 -4 -8| |x3-x1 y3-y1 z3-z1| |3+1 0-2 1-4| |4 -2 -3| Вычислим определитель полученной матрицы и получим общее уравнение плоскости: ∆=(x+1)*|{{-4, -8}{-2, -3}}|-(y-2)*|{{0, 4}{-8, -3}}|+(z-4)*|{{0,-4}{-4, -2}}|= =-4(x+1)-32(y-2)+16(z-4)=-4x-32y+16z-4+64-64=-4x-32y+16z-4=x+8y-4z+1 Общее уравнение плоскости: x+8y-4z+1. Вычислим расстояние d от найденной плоскости до точки М0(–2, 3, 5): d=|A*Mx+B*My+C*Mz+D|/√(A2+B2+C2)=|-1*2+8*3-4*5+1|/√(1+64+16)= =|-2+24-20+1|/√(81)=|3|/9=1/3
Задача №10 Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей. Общие уравнения плоскостей, объединенные в систему, даны ниже в соответствии с вариантом.
Для того, чтобы найти уравнение прямой, необходимо найти две точки принадлежащие этой прямой(двум данным плоскостям). Для этого решим систему и найдем два её любых решения: |5 1 -3 4 0| |1 -1 2 2 0| |1 -1 2 2 0| ~ |6 0 -1 6 0| Запишем в виде системы: x-y+2z+2=0 6x-z+6=0 Выразим переменную х из второго уравнения и подставим в первое уравнение: z=6+6x x-y+2(6+6x)+2=0 y=14+13x Примем х=0: y=14; z=6; Проверка: 14-18+4=0 -14+12+2=0 Точка M1(0;14;6) принадлежит искомой прямой. Примем х=1: у=27; z=12; Проверка: 5+27-36+4=0 1-27+24+2=0 Точка M2(1;27;12) принадлежит искомой прямой. Найдем каноническое уравнение прямой по двум известным точкам: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1) (x-0)/(1-0)=(y-14)/(27-14)=(z-6)/(12-6) x/1=(y-14)/13=(z-6)/6 Найдем параметрическое уравнение прямой: Направляющий вектор берем из канонического уравнения — p=(1;13;6) x=pxt+x0 x=t y=pyt+y0 y=13t+14 z=pzt+z0 z=6t+6
Задача №11 Найти угол между прямой и плоскостью. Если прямая и плоскость не параллельны, то найти точку их пересечения. Канонические уравнения прямых и общие уравнения плоскостей даны ниже в соответствии с вариантами.
Из уравнения примем направляющий вектор p=(l, m, n) прямой p=(2, 0, 1) sin a^α=|A*l+B*m+C*n|/(√((A2+B2+C2)*(l2+m2+n2)) sin a^α=|1*2-2*0+4*1|/(√((12+(-2)2+42)*(22+02+12))=|2+4|/(√(21*5)=√(12/35) ≈ ≈ 0,5855 Откуда a^α≈36° Найдем точку пересечения, для этого решим систему уравнений: (x-1)/2=(z-4)/1 y=2 x-2y+4z-19=0 Выразим из первого уравнения z, и подставим z и y в третье уравнение: z=(x-1)/2+4 z=(x+7)/2
