Вариант 7 Задание 7. Даны четыре вектора (а1, а2, а3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. (3,4,-3), (-5,5,0), (2,1,-4), (8,-16,17).
Задание 17. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж. А1(5,5,4), А2(3,8,4), А3(3,5,10), А4(5,8,2).
Задание 27. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(0,1) вдвое меньше расстояния от прямой у = 4.
Задание 37. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Задание 47. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Задание 57. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
Задание 67. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Задание 77. Построить график функции преобразованием графика функции .
Задание 87. Дана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток /8, начиная от =0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Задание 97. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Задание 107. Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
Задание 117. Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Задание 127. Найти производную данных функций
Задание 137. Найти и а) б)
Задание 147. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса. Какого должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?
Литература 1. Булдык Г. М. Высшая математика. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление / Г. М. Булдык, Н. Г. Серебрякова. Минск: НО ООО «БИП-С», 2003 2. Гусак А. А. Высшая математика . Т. т. 1 – 2, Мн.: Бгу, 1998 3. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 1.— СПб.: Политехника, 2003.
