Даны четыре вектора (а1, а2, а3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
(-2,3,5), (1,-3,4), (7,8,-1), (1,20,1).
Решение. Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Итак, находим
( , , ) = = -2 - 3 + 5 = -2(3-32) - 3(-1 - 28) + +5(8+21) = 58 + 87 +145 =290 Значит, векторы , , некомпланарные и образуют базис. = x +y +z Составим систему уравнений
из уравнения (1) выразим x x= (3.1) подставим его значение в уравнение (2) и (3), получаем 20 = -3y+8z (4) 1 = +4y-z (5) Решаем уравнение (4) 3y+21z-3-6y+16z=40 5y+35z-5+8y-2z=2 37z-3y=43 13y+33z=7 y= (6) Подставим значение y в уравнение (5) 43=37z- 481z-21+99z=580 580z=580 z=1 Значение z подставляем в уравнение (6) находим у y= =-2 Значение z и у подставляем в уравнение (3.1) находим х x= =2 Отсюда равно = 2 -2 + Ответ: , , образуют базис и = 2 -2 + .
Задание 2
1. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж. A1(3,5,4), A2(5,8,3), A3(1,9,9), A4(6,4,8) Решение. 1. Находим координаты вектора =(5-3,8-5,3-4)=(2,3,-1) и длину ребра = = = 2.
Угол между ребрами A1A2и A1A4вычисляется по формуле из скалярного произведения. = (2,3,-1), = (6-3,4-5,8-4)=(3,-1,-4) ( , ) = (2▪3+3▪(-1)+(-1)▪(-4)) = 6-3+4 = 7 = = = . Поэтому cosφ= = 03669 φ = 76°08' 3. Вектор перпендикулярен грани A1A2A3 =(1-3,9-5,9-4)=(-2,4,5) = = 19 -8 +14 . cos( ) = sin = (3*19+(-8)*(-1)+(-1)*14) = (57+8-14)= 51 = = = =3 sin = = = = =0,401 = 26°27' 4. Площадь грани A1A2A3 находим, используя геометрический смысл векторного произведения SΔA1A2A3 = = = . 5. Объем пирамиды
В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны x-2z+11=0 или 3x+2y+5=0 т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей. 7. Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой (1.6), где - координаты , - координаты , - координаты . = 0 A3 (1,9,9) x2 = 1, y2 = 9, z2 = 9 = 0 (x-3)(15+4)-(y-5)(10-2)+(z-4)(8+6)=0 19x -8y +14z – 73 = 0 8. Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой , где - точка, лежащая на искомой прямой,; - координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку A4(6,4,8) x0=6, y0=4, z0=8 а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. m=19, n=-8, p=14. Имеем . 9. Сделаем чертеж
Задание 3 Найти координаты точки А, симметричной точке A(2,-4) относительно прямой 4x+3y+1=0. Решение. B каноническом виде т.е. направляющий вектор прямой это вектор ┴ вектору A0A = (x-x0,y-y0)=(x-2,y+4) 0=( )= -3(x-2)+4(y+4)=-3x+6+4y+16=-3x+4y+22=0 (1) Так как координаты точки середина отрезка определяется x= Середина отрезка Q= подставляем в ур-ние прямой 2(2+х)-6+ y+1=0 4+2x-6+ y+1=0 2x+ y-1=0 4x+3y-2=0 (2) Составляем систему (1) и (2) -3x+4y+22=0 4x+3y-2=0 x= 4▪22+16y+9y-6=0 25y+82=0 y= x= A=
Задание 4
Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.
x-4y 53
x-y 3
7x+3y 71
Решение.
Построим график :
Находим т. А пересечения прямых 7x+3y=71 и x+4y=53 7x+3y=71 (1) x+4y=53 (2) x=53-4y подставляем x в ур-ние (1) 7(53-4y)+3y=71 371-28y+3y-71=0 -25y=-300 y=12
находим x x=53-4▪12=5 x=5 y=12 A(5,12) находим координаты точки B: 7x+3y=71 x-y=3 x=3+y 7(3+y)+3y=71 21+7y+3y=71 10y=50 y=5 x=3+5=8 x=8 y=5 B(8,5) находим координаты точки C: x+4y=53 x-y=3 x=3+y 3+y+4y=53 5y=50 y=10 x=3+10=13 x=13 y=10 C(13,10) Данной системе неравенств удовлетворяют все точки внутри ΔABC и на его границе.
задание 5 Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой 3x+16=0 равно 0,6.
