Решение. Используем признак Даламбера. Составим соотношение: ... Предел этого отношения равен: ... Так как указанный предел больше 1, то согласно признаку Даламбера ряд расходится
№323. Найти интервал сходимости степенного ряда:
Решение. Найдем радиус сходимости данного степенного ряда: ... Таким образом, исходный ряд сходится в интервале... Проверим сходимость ряда в крайних точках интервала 1)... Исследуем поведение дроби n ... с ростом n. Для этого используем формулу Стирлинга, согласно которой ... ...при больших n. Тогда при больших n ... Таким образом члены данного ряда убывают по абсолютной величине, и стремятся к нулю с возрастанием n, т.е. этот знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а значит сходится. 1) ... n . Этот ряд расходится так как его члены, согласно сказанному выше пропорциональны ... (данный ряд является мажорантным к гармоническому, а значит расходится в силу признака сравнения). Таким образом, исходный ряд ... n сходится на интервале:
Ответ:
№333. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать
Решение. Разложим в ряд подынтегральную экспоненту: ... Теперь проинтегрируем этот ряд почленно: ... Ответ: 0,856
№343. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y(x) дифференциального уравнения y y y 2 , удовлетворяющего начальному условию y(0) 3
Решение. Запишем три члена разложения решения в степенной ряд: ... Чтобы удовлетворить начальному условию необходимо положить 3 0 a . Подставим данное разложение в уравнение: ... Объединим члены при одинаковых степенях до x: ... Тогда для 1-х трех членов разложения имеем равенство:
Ответ:
№353. На интервале ; задана периодическая с периодом 2 функция f x . Требуется: 1) разложить функцию f x в ряд Фурье; 2) построить график суммы ряда Фурье. ... Решение. Вычисляем коэффициенты разложения: ... Ответ: ... (+график)
