Задание 4. Установить истинное сообщение, зашифрованное классическим методом. А) расшифровать криптограмму Цезаря ФСОСЕЯЛ ЖГЕРС КГТЗОЛ, ФЦПУГН ЕСКЕЗФХВ Решение Используем для расшифровки таблицу: А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х
У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В ФСОСЕЯЛ ->соловьи ЖГЕРС ->давно КГТЗОЛ ->запели ФЦПУГН ->сумрак ЕСКЕЗФХВ ->возвестя Получим: Соловьи давно запели, сумрак возвестя Б) перевести с тарабарского ПЕСЬФЯ ОЩЪЯКЪ ПЕОЩЪЯКПОЕ (Т. НМУКТОШ) Решение Воспользуемся таблицей тарабарской грамоты: Б В Г Д Ж З К Л М Н Щ Ш Ч Ц Х Ф Т С Р П Заменим: ПЕСЬФЯ ОЩЪЯКЪ ПЕОЩЪЯКПОЕ (Т. НМУКТОШ) НЕЛЬЗЯ ОБЪЯТЪ НЕОБЪЯТНОЕ (К. ПРУТКОВ) Ответ. Нельзя объять необъятное. В) расшифровать текст, зашифрованный с помощью девиза «роза» б ю ь у в г к ш ц а и е а ц м э у б ы ё ь ы и п ь ю ц т д г а бэ Решение Воспользуемся таблицей: А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Сопоставим буквы цифрам и девизу: 2 32 30 21 3 4 12 26 24 1 10 6 1 24 14 31 б ю ь у в г к ш ц а и е а ц м э Р О З А Р О З А Р О З А Р О З А 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1
21 2 29 7 30 29 10 17 30 32 24 20 5 4 1 2 31 у б ы ё ь ы и п ь ю ц т д г а б э Р О З А Р О З А Р О З А Р О З А Р 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 18 Посчитаем: 2 32 30 21 3 4 12 26 24 1 10 6 1 24 14 31 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 17 16 21 20 18 21 3 25 6 18 1 5 16 8 5 30 п о у т р у в ч е р а д о ж д ь
21 2 29 7 30 29 10 17 30 32 24 20 5 4 1 2 31 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 18 16 9 1 18 3 19 20 6 12 13 1 16 12 16 15 19 20 21 25 1 13 в с т е к л а о к о н с т у ч а л
Получим Поутру вчера дождь в стекла окон стучал Г) прочитайте текст, зашифрованный методом постолбцовой транспозиции (n=5,m=6) Чюртс теоеу тнсар апорь веюыв асоче Решение ■(ч&у&т&ь&в&е@ю&е&н&р&е&ч@р&о&c&о&ю&о@т&е&а&п&ы&с@с&т&р&а&в&а) => получим: чуть вечернею росою оыпаетс права Задание 5. Расшифровать криптосообщение RSA. {ш,e,n}={131,13,1517} Решение n=1517 e=13 {13,1517}- открытый ключ Вычислим функцию Эйлера φ(1517)=φ(41)*φ(37)=40*36=1440 Для определения секретного ключа d воспользуемся формулой: d=(e^(-1) ) mod φ(n) Чтобы решить это уравнение будем использовать алгоритм Евклида: u ⃗=(0,1,1440) v ⃗=(1,0,13) i g_i u_1 u_2 u_3 v_1 v_2 v_3 - - 0 1 1440 1 0 13 1 [1440/13]=110 1 0 13 -110 1 10 2 [13/10]=1 -110 1 10 111 0 3 3 [10/3]=3 111 0 3 -443 1 1 4 -443 1 1
Т.е. d=-443=997 Расшифруем сообщение c=〖131〗^997 mod 1517=1310 Ответ. 1310= «ли» Задание 6. Расшифровать криптосообщение Эль Гамаля. {m,O,P,g,h,x}={11,33,61,6,44,11} Решение x=11 g=6 h=44 O=33=g^k mod 61=6^k mod 61 =>k=3-сеансовый ключ K=O^x mod P=〖33〗^11 mod 61=28 Найдем K^(-1): Будем использовать алгоритм Евклида: u ⃗=(0,1,61) v ⃗=(1,0,28) i g_i u_1 u_2 u_3 v_1 v_2 v_3 - - 0 1 61 1 0 28 1 [61/28]=2 1 0 28 -2 1 5 2 [28/5]=5 -2 1 5 11 -4 3 3 [5/3]=1 11 -4 3 -13 2 2 4 [3/2]=1 -13 2 2 24 -6 1 5 [2/1]=2 24 -6 1 Т.е. K^(-1)=24 Расшифруем сообщение c=11*24 mod 61=20 Ответ. 20
Задание 7. Убедиться в неприводимости и примитивности данного полинома p(x) пятой степени с коэффициентами из Z/2Z. Сформировать с помощью этого полинома поле Галуа из 32-х элементов. Выписать проверочную матрицу H примитивного двоичного БЧХ-кода, исправляющего двойные ошибки. p(x)=x^5+x^2+1 Решение p(x) не приводим, т.к.: 0 и 1 из Z/2Z не являются корнями p(x) p(x) не делится на x^2+x+1:
x^5+x^2+1=x^3 (x^2+x+1)-x^4-x^3+x^2+1= =x^3 (x^2+x+1)-x^2 (x^2+x+1)+2x^2+1= =x^3 (x^2+x+1)-x^2 (x^2+x+1)+2(x^2+x+1)-2x-1= =(x^3-x^2+2)(x^2+x+1)-2x-1 Сформируем поле Галуа из 2^5 элементов: p(x)=x^5+x^2+1 Степенное задание Полиномиальное задание Векторное задание x^(-∞) 0 (0,0,0,0,0) x^1 x (0,0,0,1,0) x^2 x^2 (0,0,1,0,0) x^3 x^3 (0,1,0,0,0) x^4 x^4 (1,0,0,0,0) x^5 x^2+1 (0,0,1,0,1) x^6 x^3+x (0,1,0,1,0) x^7 x^4+x^2 (1,0,1,0,0) x^8 x^3+x^2+1 (0,1,1,0,1) x^9 x^4+x^3+x (1,1,0,1,0) x^10 x^4+1 (1,0,0,0,1) x^11 x^2+x+1 (0,0,1,1,1) x^12 x^3+x^2+x (0,1,1,1,0) x^13 x^4+x^3+x^2 (1,1,1,0,0) x^14 x^4+x^3+x^2+1 (1,1,1,0,1) x^15 x^4+x^3+x^2+x+1 (1,1,1,1,1) x^16 x^4+x^3+x+1 (1,1,0,1,1) x^17 x^4+x+1 (1,0,0,1,1) x^18 x+1 (0,0,0,1,1) x^19 x^2+x (0,0,1,1,0) x^20 x^3+x^2 (0,1,1,0,0) x^21 x^4+x^3 (1,1,0,0,0) x^22 x^4+x^2+1 (1,0,1,0,1) x^23 x^3+x^2+x+1 (0,1,1,1,1) x^24 x^4+x^3+x^2+x (1,1,1,1,0) x^25 x^4+x^3+1 (1,1,0,0,1) x^26 x^4+x^2+x+1 (1,0,1,1,1) x^27 x^3+x+1 (0,1,0,1,1) x^28 x^4+x^2+x (1,0,1,1,0) x^29 x^3+1 (0,1,0,0,1) x^30 x^4+x (1,0,0,1,0) x^31 1 (0,0,0,0,1) Построим реверсивный код H=(■(1&x&…&x^30@1&x^(-1)&…&x^(-30) ))= =(■(0&0&0&0&1&0&0&1&0&1&1&0&0&1&1&1&1&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1&0&1&0&1@0&0&0&1&0&0&1&0&1&1&0&0&1&1&1&1&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1&0&1&0&1&0@0&0&1&0&0&1&0&1&1&0&0&1&1&1&1&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1&0&1&0&1&0&0@0&1&0&0&0&0&1&0&0&1&0&1&1&0&0&1&1&1&1&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1&0&1@1&0&0&0&0&1&0&0&1&0&1&1&0&0&1&1&1&1&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1&0&1&0@0&1&0&1&0&1&1&1&0&1&1&0&0&0&1&1&1&1&1&0&0&1&1&0&1&0&0&1&0&0&0@0&0&1&0&1&0&1&1&1&0&1&1&0&0&0&1&1&1&1&1&0&0&1&1&0&1&0&0&1&0&0@0&0&0&1&0&1&0&1&1&1&0&1&1&0&0&0&1&1&1&1&1&0&0&1&1&0&1&0&0&1&0@0&1&0&1&1&1&0&1&1&0&0&0&1&1&1&1&1&0&0&1&1&0&1&0&0&1&0&0&0&0&1@1&0&1&0&1&1&1&0&1&1&0&0&0&1&1&1&1&1&0&0&1&1&0&1&0&0&1&0&0&0&0)) Задание 8. Аппарат сотовой связи с кодом из задания 7 принял сообщение x ̅. За 40 наносекунд он определяет и исправляет ошибки в сообщении. Не ограничивая себя 40 наносекундами, убедиться, что сообщение x ̅ содержит ошибки. x ̅=(011 010 110 100 000100 001 000 000 000 1) Решение Найдем H*(x ̅ )^T: H*(x ̅ )^T=(█(1@0@0@1@1@1@1@1@0@0))=(█(x^17@x^13 ))≠(█(0@0@0@0@0@0@0@0@0@0)) Значит сообщение содержит ошибки