Вариант 9. Номера заданий: 319, 329,...,429. Работа была выполнена в мае 2013 года. Для студентов заочной формы обучения радиотехнических специальностей. №319 Исследовать сходимость числового ряда ∑_(n=1)^∞▒(n+3)/(n^3-2) Решение Т.к. lim┬(n→∞)〖(n+3)/(n^3-2)*n^2 〗=lim┬(n→∞)〖(n^3 (1+3/n))/(n^3 (1-2/n^3 ) )〗=lim┬(n→∞)〖((1+3/n))/((1-2/n^3 ) )〗=1 По признаку сравнения исходный ряд можно сравнить с рядом ∑_(n=1)^∞▒1/n^2 Который сходится по интегральному признаку ∫_1^∞▒〖1/x^2 dx〗=├ -1/x┤|_1^∞=0+1=1 Из сходимости ∑_(n=1)^∞▒1/n^2 следует сходимость ∑_(n=1)^∞▒(n+3)/(n^3-2) Ответ. Ряд сходится. №329. Найти интервал сходимости степенного ряда ∑_(n=1)^∞▒(2^n x^n)/√((2n-1) 3^n ) Решение a_n=2^n/√((2n-1) 3^n ) Найдем радиус сходимости R=lim┬(n→∞)√(n&√((2n-1) 3^n )/2^n )=lim┬(n→∞)〖(3(2n-1)^(1/n))/2〗=3/2 Интервал сходимости (-3/2,3/2) №339 Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать. ∫_0^1▒〖cos∛x dx〗=∫_0^1▒(1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/4!-x^(6/3)/6!…)dx ├ =(x-(3x^(5/3))/10+1/24*3/7 x^(7/3)-3/9*x^(9/3)/6!…) ┤|_0^1=[1/(3*6!)<0,001]=1-3/10+1/56=0,717 Ответ. 0.717 №349 Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y (x ) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию y (0) = y_0 y^'=2e^y+xy y(0)=0 Решение y^' (0)=2e^0+0=2 Найдем y^'': y^''=(2e^y+xy)^'=2e^y y^'+y+xy^' y^'' (0)=2e^0*2+0+0=4 Найдем y^''': y^'''=(2e^y y^'+y+xy^' )^'=2e^y (y^' )^2+2e^y y^' y^''+y^'+y^'+xy^'' y^''' (0)=2e^0 (2)^2+2e^0*2*4+2+2+0=28 Тогда решение примет вид: y=2/1! x+4/2! x^2+28/3! x^3+⋯=2x+2x^2+14/3 x^3+⋯ Ответ y=2x+2x^2+14/3 x^3+⋯ № 359. На интервале (–π,π) задана периодическая с периодом 2π функция f(x). Требуется Разложить функцию в ряд Фурье Построить график суммы ряда Фурье f(x)=x+1 Решение f(x)=a_0/2+∑_(n-1)^∞▒(a_n cosnx+b_n sinnx ) a_0=1/π ∫_(-π)^π▒(x+1)dx=├ 1/π (x^2+x) ┤|_(-π)^π=1/π (2π)=2 a_n=1/π ∫_(-π)^π▒〖(x+1) cosnx dx〗=1/π (├ ((x+1) sinnx)/n┤|_(-π)^π-1/n ∫_(-π)^π▒〖sinnx dx〗)= =1/πn ├ cosnx/n┤|_(-π)^π=1/(πn^2 ) (0)=0 b_n=1/π ∫_(-π)^π▒〖(x+1) sinnx dx〗=1/π (-├ ((x+1) cosnx)/n┤|_(-π)^π+1/n ∫_(-π)^π▒〖cosnx dx〗)= =1/πn (-(π+1) cosnπ+(1-π) cosnπ+├ sinnx/n┤|_(-π)^π )=(-2(-1)^n)/n Тогда ряд Фурье примет вид f(x)=1+∑_(n-1)^∞▒((-2(-1)^n)/n sinnx ) Нарисуем график
№369. Представить заданную функцию w = f (z ) , где z = x + iy , в виде w = u ( x,y ) + iv ( x,y ) ; проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке z_0 w=e^(1-2z), z_0=πi/3 Решение w=e^(1-2z)=e^(1-2x-2iy)=e^(1-2x) (cos(-2y)+i sin(-2y) )==e^(1-2x) cos(2y)-ie^(1-2x) sin(2y) u(x,y)=e^(1-2x) cos(2y) v(x,y)=-e^(1-2x) sin(2y) Проверим, является ли функция аналитической ∂u/∂x=-2e^(1-2x) cos2y ∂u/∂y=-2e^(1-2x) sin2y ∂v/∂x=2e^(1-2x) sin2y ∂v/∂y=-2e^(1-2x) cos2y {█(∂u/∂x=∂v/∂y@∂u/∂y=-∂v/∂x)┤ =>условие Коши-Римана выполняется =>функция является аналитической Найдем производную в точке f^' (πi/3)=-2e^1 cos〖2π/3〗+i2e^1 sin〖2π/3〗=e+ie√3 №379 Разложить функцию f (z ) в ряд Лорана в окрестности точки z_0 : f(z)=sin〖5z/(z-2i)〗, z_0=2i Решение sin〖5z/(z-2i)〗=sin〖(5z-10i+10i)/(z-2i)〗=sin(5+10i/(z-2i))=sin5 cos〖10i/(z-2i)〗+cos5 sin〖10i/(z-2i)〗= =sin5 ∑_(n=0)^∞▒〖(-1)^n/(2n)! (10i/(z-2i))^n 〗+cos5 ∑_(n=0)^∞▒〖(-1)^n/(2n+!)! (10i/(z-2i))^(n+1) 〗= =sin5 ∑_(n=0)^∞▒〖((-1)^n (10i)^n)/(2n)! (z-2i)^(-n) 〗+cos5 ∑_(n=0)^∞▒〖((-1)^n (10i)^(n+1))/(2n+!)! (z-2i)^(-n-1) 〗 №389 Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z1, z2, z3 ∑_(n=1)^∞▒(z-2)^n/(3^n (n+1)) z_1=0, z_2=-1, z_3=1+4i Решение Найдем радиус сходимости R=lim┬(n→∞)〖(3^n (n+1) )^(1/n) 〗=3 Тогда ряд сходится в круге |z-2|<3 z_1=0ϵ|z-2|<3, значит в этой точке ряд сходится абсолютно. z_2=-1 ∑_(n=1)^∞▒(-1-2)^n/(3^n (n+1))=∑_(n=1)^∞▒(-1)^n/((n+1)) Исследуем ряд из модулей ∑_(n=1)^∞▒1/((n+1)) По интегральному признаку ∫_1^∞▒〖1/(x+1) dx〗=├ ln|x+1| ┤|_1^∞=∞ расходится Проверим признак Лейбница 1 1/2>1/3>⋯ 2 lim┬(n→∞)〖1/(n+1)〗=0 Условие Лейбница выполняется, значит ряд сходится условно. z_3=1+4i,|1+4i-2|=|4i-1|=√17 лежит за кругом сходимости, а значит в z_3 ряд расходится. №399. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l. ∮▒〖e^(-3z)/(z^2 (z+i) ) dz〗 l:|z-1+i|=3 Решение. f(z)=e^(-3z)/(z^2 (z+i) ) z=-i - полюсь первого порядка z=0 - полюс второго порядка Найдем вычеты res_(z→-i) f(z)=lim┬(z→-i)〖(e^(-3z) (z+i))/(z^2 (z+i) )〗=lim┬(z→-i)〖e^(-3z)/z^2 〗=e^3i/(-1)=-e^3i res_(z→0) f(z)=lim┬(z→0)〖d/dz ((e^(-3z) z^2)/(z^2 (z+i) ))〗=lim┬(z→0)〖d/dz (e^(-3z)/((z+i) ))〗=lim┬(z→0)〖(-3e^(-3z) (z+i)-e^(-3z))/(z+i)^2 〗=(-3i-1)/(-1)=3i+1 Тогда ∮▒〖e^(-3z)/(z^2 (z+i) ) dz〗=2πi(-e^3i+3i+1) №409 Найти изображение заданного оригинала f (t). f(t)=e^4t cos2t sh 3t Решение f(t)=e^4t cos2t sh 3t=1/2 e^4t cos2t (e^3t-e^(-3t) )=1/2 e^7t cos2t-1/2 e^t cos2t F(p)=1/2 (p-7)/((p-7)^2+9)-1/2 (p-1)/((p-1)^2+9) Ответ. F(p)=1/2 (p-7)/((p-7)^2+9)-1/2 (p-1)/((p-1)^2+9) №419. Найти изображение заданного оригинала f (t). f(t)=∫_0^t▒〖(e^3τ-cos2τ)/τ dτ〗 Решение e^3τ-cos2τ→1/(p-3)-p/(p^2+4) (e^3τ-cos2τ)/τ→ ∫_p^∞▒(1/(q-3)-q/(q^2+4))dq ├ =(-ln|1/(q-3)|+1/2 ln|1/(q^2+4)| ) ┤|_p^∞= ├ =(1/2 ln|(q-3)^2/(q^2+4)| ) ┤|_p^∞=-1/2 ln|(p-3)^2/(p^2+4)| Тогда ∫_0^t▒〖(e^3τ-cos2τ)/τ dτ〗→-1/2p ln|(p-3)^2/(p^2+4)| Ответ -1/2p ln|(p-3)^2/(p^2+4)| №429. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: x^''+2x^'+x=cost x(0)=0, x^' (0)=0 Решение x(t)→X(p) x^' (t)→pX(p)-x(0)=pX(p) x^'' (t)→p^2 X(p)-px(0)-x^' (0)=p^2 X(p) cost→p/(p^2+1) Подставим в уравнение p^2 X(p)+2pX(p)+X(p)=p/(p^2+1) (p^2+2p+1)X(p)=p/(p^2+1) X(p)=p/((p^2+1) (p+1)^2 ) p/((p^2+1) (p+1)^2 )=(ap+b)/(p^2+1)+(cp+d)/(p+1)^2 cp^3+dp^2+cp+d+ap^3+2ap^2+ap+bp^2+2bp+b=p {█(c+a=0@d+2a+b=0@c+a+2b=1@d+b=0)┤=> {█(c=-a@2a=0@2b=1@d=-b)┤ => {█(c=0@a=0@b=1/2@d=-1/2)┤ X(p)=p/((p^2+1) (p+1)^2 )=1/2 (1/(p^2+1)-1/(p+1)^2 ) 1/(p^2+1)→sint 1/(p+1)^2 →e^(-t)*t f(t)=1/2 sin〖t-1/2 te^(-t) 〗 Ответ. f(t)=1/2 sin〖t-1/2 te^(-t) 〗
