1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 2. даны векторы а(а1 а2 аз), I$Ь1 ь2 Ь3), с(с1 с2 сэ) и i(41 2; й) в некотором базисе. Показать, что векторы а, Ь, с образуют базис, и найти координаты вектора i в этом базисе. а (З;-5;2), Ь (4;5;1), с (-З;О;-4), i (-4;5;-16). Векторы а, Ь, с образуют базис в пространстве 1{ в том случае, если равенство аа + 3Ь + ус = О выполняется лишь тогда, когда а = = у = О. Рассмотрим это условие: а(З-52) + (451) + у(-зО-4) = (ООО) или 3а+4В—3у=О, — 5а + 5/9 = О, 2а+В—4у=О. Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду: 3 4 —3 —5 5 О Умножим первую строку на 5, вторую на З и сложим 2 1 —4 их, умножим первую строку на -2, третью на З и сложим их 3 4 —3 > О 35 —15 > умножим третью строку на 7 и сложим со второй строкой О —5 —6 3 4 —3 О 35 —15 О О —57 Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно а = = у = О. Значит, векторы а, Ь, с образуют базис. Вектор i в базисе а, Ь, с имеет вид: а1а + рф + у1с = :i. В расширенном виде: За + 4/9 — Зу = —4 — 5а + 5/9=5 2а+/9—4у=—16. Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия): 3 4 —3 —4 3 4 —3 —4 3 4 —3 —4 —5 5 О 5 О 35 —15 —5 О 35 —15 —5 2 1 —4 —16 О —5 —6 —40 О О —57 —285 За+4/9—Зу=—4 а11 Получимсистему: 35/?—15у=—5 > —57у=—285 Значит, вектор i в базисе а, Ь, с имеет координаты i(1 25).
