Контрольная работа № 2 по дисциплине «Высшая математика» вариант 9
Задание 79 Построить график функции у = 3cos( x + 1) преобразованием графика функции y = cos x. Решение Строим график функции y = cos x, затем строим график функции y = cos x растяжением y = cos x в раз от оси Оу. График y = cos( x + 1) = cos (x +2) получается параллельным переносом графика y = cos x в отрицательном направлении оси Ох на 2. Растяжением в 3 раза вдоль оси Оу графика y = y = cos( x + 1) получаем график функции у = 3 cos( x + 1). Изобразим соответствующие графики:
Задание 89 Дана функция r = на отрезке 0 £ φ £ 2π. Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая j значения через промежуток p/8, начиная от j = 0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия. Решение 1) Полярному углу φ будем придавать значения от угла φ = 0 до φ = 2π через промежуток π/8 и вычислять соответствующие значения полярного радиуса r. Результаты запишем в таблицу: φ r =
0 < 0 π/8 < 0 π /4 < 0 3π/8 25,572 π/2 6 5π/8 3,399 3π/4 2,485 7π/8 2,107 π 2 9π/8 2,107 5π/4 2,485 11π/8 3,399 3π/2 6 13π/8 25,572 7π/4 < 0 15π/8 < 0 2π < 0 При φ → ; r → ¥; при φ Î и φ Î точек линии нет, так как не может быть r < 0. Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам φ, взятым с интервалом π/8. На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении φ из таблицы. Соединим эти точки плавной линией и получим изображение кривой. Сделаем чертеж:
2) Найдем уравнение этой кривой в декартовых координатах. Для этого подставим в исходное уравнение r = , cos φ = . Получим: = . Преобразуем это соотношение: = ; – 2x = 6; = 6 + 2x. Возведем обе части равенства в квадрат: х2 + у2 = (6 + 2x)2; х2 + у2 = 36 + 24x + 4x2; 3х2 – у2 + 24x + 36 = 0 3(х2 + 8x + 16 – 16) – у2 + 36 = 0 3(х + 4)2 – 48 – у2 + 36 = 0 3(х + 4)2 – у2 = 12 – = 1. Полученное уравнение есть уравнение ветви гиперболы с полуосями а = 2, b = 2 с центром в точке А(–4; 0). Задание 99 Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. a) ; б) ; в) ; г) . Решение a) . Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x3. Получим , так как при , , и – бесконечно малые функции.
б) . Непосредственная подстановка аргумента х = 5 приводит к неопределенности вида . Избавимся от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель на , а знаменатель разложим на множители по формуле: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где х1, x2 – корни уравнения ax2 + bx + c = 0 2х2 – 7х – 15 = 0; D = 49 + 120 = 169; x1 = (7 – 13) / 4 = – , x2 = (7 + 13) / 4 =5. 3х2 + 4х + 1 = 2(x – 5)(x + ) = (x – 5)(2x + 3). ( )( ) = 2х + 1 – х – 6 = х – 5. Тогда:
=
в) . Подстановка предельного значения аргумента х = 0 приводит к неопределенности вида 0 • ¥. Применяем сначала формулу тригонометрии: ctg 5x = , а затем воспользуемся первым замечательным пределом . = г) . При х → +¥ имеем неопределенность вида ¥ • (¥ – ¥), которую преобразуем, используя свойство логарифмической функции: (2х – 7) • [ln(3x + 4) – ln 3x ] = (2х – 7) • ln = ln = ln . Тогда, = = [имеем неопределенность вида 1¥, раскроем ее с помощью 2-го замечательного предела ] = = = = = . Задание 109 Заданы функция у = f(x) = и два значения аргумента х1 = 6 и х2 = 2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж. Решение 1) Так f(x) является элементарной функцией, то она непрерывна во всех точках, в которых определена. Следовательно, в точке х1 = 6 функция непрерывна, а в точке х2 = 2 она не является непрерывной (деление на ноль неопределенно). Значит, х2 = 2 – точка разрыва функции. 2) Вычислим односторонние пределы в точке х2 = 2:
Один из пределов оказался бесконечным, поэтому х2 = 2 – точка разрыва 2-го рода. 3) Учитывая, что , строим схематический график функции.
Задание 119 Задана функция y = различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж. Решение Функция y =0 непрерывна на (–¥; 0], функция y = tg x непрерывна на (0; ), а y =x – непрерывна на [ ; +¥), значит f(x) непрерывна на интервалах (–¥; 0) (0; ) ( ; +¥). Исследуем поведение функции в точках х1 = 0 и х2 = . Находим правые и левые пределы функции в этих точках. ; f(0) = 0. Так как f(0) = 0, то f(x) в точке x1 = 0 непрерывна. ; f( ) = , т.е. х2 = 2 – точка разрыва 2 го рода, так как = + Сделаем чертеж:
