№10 a ̅=4i ̅+7j ̅+8k ̅,b ̅=9i ̅+j ̅+3k ̅,c ̅=2i ̅-4j ̅+k ̅,d ̅=i ̅-13j ̅-13k ̅ α=-5,β=4,γ=2 Найдём скалярное произведение векторов αa и βb, так как αa ̅=-5(4i ̅+7j ̅+8k ̅ )=-20i-35j ̅-40k ̅ βb ̅=4(9i ̅+j ̅+3k ̅ )=36i ̅+4j ̅+12k ̅, то αa ̅* βb ̅=-20*36-35*4-40*12=-1340 Найдём модуль векторного произведения βb ̅ и γс ̅; где γс ̅=2(2i ̅-4j ̅+k ̅ )=4i ̅-8j ̅+2k ̅ βb ̅*γc ̅=|■(i ̅&j ̅&k ̅@36&4&12@4&-8&2)|=8i ̅+48j ̅-288k ̅-16k ̅-72j ̅+96i ̅=104i ̅-24j ̅-304k ̅ |βb ̅*γc ̅ |=√(〖104〗^2+〖(-24)〗^2+〖304〗^2 )=√103808 ≈ 322,1925 Проверить кол линеарность и ортогональность векторов αa ̅ и γc ̅: так как αa ̅=(-20; -35; -40)и γc ̅=(4; -8;2),то (-20)/4≠(-35)/(-8)≠(-40)/2,-5≠5≠-20,то векторы αa ̅ и γc ̅ -не коллинеарны Поскольку αa ̅*γc ̅=-20*4+(-35)*(-8)-40*2=120≠0,то векторы αa ̅ и γc ̅-не ортогональны Вычислим определитель: ∆=|■(4&7&8@9&1&3@2&-4&1)|=4+42-288-16-63=-273≠0,значит,векторы a ̅,b ̅,c ̅ образуют базис. Найти координаты вектора α ̅ в этом базисе Пусть α ̅=α_1 a ̅+α_2 b ̅+α_3 c ̅ Из условия задачи i ̅-13j ̅-13k ̅=α_1 (4i ̅+7j ̅+8k ̅ )+α_2 (9i ̅+j ̅+3k ̅ )+α_3 (2i ̅-4j ̅+k ̅) Из равенства векторов имеем: {█(4α_1+9α_2+2α_3=1@ 7α_1+α_2-4α_3=-13@ 8α_1+3α_2+α_3=-13)┤ (├ ■(4&9&2@7&1&-4@8&3&1)┤| ■(1@-13@-13)) □(→┴(I*(-7)+II*4) ) (├ ■(4&9&2@0&-59&-30@0&-15&-3)┤| ■(1@-59@-15)) □(→┴(II*15+III*(-59)) ) (├ ■(4&9&2@0&-59&-30@0&0&-273)┤| ■(1@-59@0)) {█(4x_1+9x_2+2x_3=1@-59x_2-30x_3=-59@-273x_3=0)┤ {█(x_3=0@x_2=1/59 (53-30x_3 )=59/59=1@x_1=1/4 (1-9x_2-2x_3 )=1/4 (1-9*1-0)=-2)┤ Искомое разложение имеет вид α ̅=-2a ̅+b ̅ №20 A (-3; -3) B (5; -7) C (7; 7) Уравнение стороны AB найдём по формуле: AB: (x- x_1)/(x_2-x_1 ) = (y- y_1)/(y_2- y_1 ) , (x- (-3))/(5- (-3) ) = (y-(-3))/(-7- (-3) ) , (x+3)/8 = (y+3)/(-4) , (x+3)/(-2) = (y+3)/1 y+3= 1/2 (x+3) , y+3= -1/2 x-3/2 , KAB = -x/2 x+2y+9-0 - Уравнение AB Так как высота CH ⊥ AB, то KCH * KAB = -1, KCH = - 1/K_AB = -1/(-1/2)=2 Воспользуемся формулой y-7=2(x-7), y-7=2x-14, 2 x-y-7=0 – уравнение высоты CH Найдём длину высоты CH: CH=|1*7+2*7+9|/√(1^2+ 2^2 )=30/√5=(6*√5*√5)/√5=6√5≈13,39 ед. длина Медиана АМ делит ВС пополам, т.е. m – середина стороны ВС Найдём её координаты: x_m=(x_B+x_C)/2=(5+7)/2=6 y_m=(y_B+y_C)/2=(-7+7)/2=0 M (6; 0) AM: (x+3)/(6+3)=(y+3)/(0+3) , (x+3)/9=(y+3)/3 (x+3)/3=y+3 , y+3=1/3 x+1 x-3y-6=0 − уравнение АМ Чтобы найти координаты N – точки пересечения между АМ и высоты СН, необходимо решить систему, составленную из уравнений этих линий: {█(x-3y-6=0@2x-y-7=0)┤ {█(-2x+6y+12=0@2x-y-7=0)┤ 5y+5=0 5y=-5 y=-1 x=6+3y=6-3=3 N (3; -1) Так как искомая прямая параллельна стороне АВ и проходит через вершину С, то КАВ = КСD = -1/2 CD: y-7=-1/2 (x-7) y-7=-1/2 x+7/2 y-7+1/2 x-7/2=0 x+8y-21=0 – уравнение CD∥AB tg∠A=(K_AC-K_AB)/(1+K_AC*K_AB ) , где КАС найдём из уравнения стороны АС АС: (x+3)/(7+3)=(y+3)/(7+3) x+3=y+3, x-y=0, y=x KAC = 1 tg∠A=(1-(-1/2))/(1+1*(-1/2) )=(1+1/2)/(1-1/2)=(3/2)/(1/2)=3 ∠A=arctg3≈1,2566 радиан Сделаем рисунок: №30 b = 2√2 , ε=7/9 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1,где ε=с/a,c=εa,c^2=a^2-b^2 〖(7/9 a)〗^2=a^2-b^2,(7/9 a)^2-a^2=-b^2 〖49a〗^2/81-a^2=-8, (〖49a〗^2-〖81a〗^2)/81=-8 -〖32a〗^2/81=-8, 〖4a〗^2/9=1,a^2=9/4,a=3/2 Тогда уравнение эллипса примет вид: x^2/(3/2)^2 +y^2/(2√2)^2 =1 x^2/(9/4)+y^2/8=1
Уравнение гиперболы имеет вид: x^2/a^2 -y^2/b^2 =1,y=_-^+ √2/2 x По условию 2a=12,a=b y=_-^+ b/a x,если a=6,то y=_-^+ b/6 x=_-^+ √2/2 x,b=_-^+ (6√2)/2 =_-^+ 3√2 Отсюда x^2/6^2 -y^2/(3√2)^2 =1
Сделаем чертёж:
Ось симметрии Оy A(-45; 15) Исходя из условия задачи искомая парабола имеет вид x^2=2py и так как точка А (-45; 15) лежит на параболе, то координата точки должна удовлетворять уравнению параболы (-45)^2=2p*15 2025=30p,p= 135/2 Отсюда x^2=135y
