76. Построить график функции преобразованием графика функции y=sinx. Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А= , . 1. Строим одну волну косинусоиды и отмечаем на ней несколько точек. 2. Увеличивая в 4/3 раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы, затем, отображая полученную линию зеркально относительно оси ОХ, графика y=cosx, строим график функции . 3. Увеличивая в 3 раза абсциссы точек графика функции и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции . 4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 1 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .
86. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат
Подставим это значение в уравнение линии:
Это уравнение данной линии в декартовой системе координат. Эта линия является гиперболой.
96. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: а) б)
в)
г)
106. Дана функция и два значения аргумента х1=10, х2=8. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;8),(8;+∞). Исследуем поведение функции в точках х1=10, х2=8. Найдём односторонние пределы.
При х=10 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=8 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках функция разрывна.
116. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0,2],(2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=2. Найдём односторонние пределы.
При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=2 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=2 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 4+1=5. График этой функции:
