Контрольная работа №2 Задание 67 Найдите пределы последовательностей. а) б) в) Решение а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:
Разделим числитель и знаменатель на n3: = б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:
Разделим числитель и знаменатель на n3:
в) Здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом .
Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций (vn)' = n vn - 1 v ', где v = 2х3 + x в одном случае и v = - в другом случае. Получаем: Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций (arctg u)′ = - , где u = . Получим
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций , где :
б) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций , где в одном случае, и - в другом случае. Получим
Ответ: а) ; б) Задание 87 Найдите предел функции : 1) не пользуясь правилом Лопиталя; 2) используя правило Лопиталя.
Решение 1) При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность . Чтобы избавиться от нее, преобразуем выражение и воспользуемся первым замечательным пределом . Введем замену переменной: 1- x = t, x = 1 – t, , t 0 при х 1.
2) Так как имеем неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:
Ответ :
Задание 97 Дана функция . 1) вычислите все частные производные первого порядка; 2) найдите производную в точке М0 (2; 1; 1) по направлению вектора ; 3) найдите Решение 1) Находим частные производные функции u= u(x,у):
2) Находим производную по направлению вектора :
Находим направляющие косинусы вектора : cosα = cosβ = cosγ = Находим значения частных производных в точке М0:
Находим производную по направлению вектора в точке М0 (2; 1; 1):
3) Находим градиент
Ответ: 1) 2) ; 3) ;
Задание 107 Дана функция . Вычислите значение ее частной производной четвертого порядка в точке Решение Найдем частные производные:
Вычислим значение производной в точке :
Ответ: 36
Задание 107 Найдите неопределенные интегралы: а) б) в) г) Решение а)Преобразуем подинтегральное выражение
