УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения Специальность: Искусственный Интеллект
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №5 Вариант №5
№1 235. Дана функция Показать, что
Решение
= –
=
= ( ) = (– ) = 2
= ( ) = ( ) = –
= ( ) = ( ) = 0
Подставим , , в уравнение ( ) + 2ху( ) + ( )
(2 ) + 2ху(– ) + (0) = (2 ) – (2 ) + 0 = 0
№2
245. Дана функция z=f(x, y) и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке С (x0, y0, z0). А (1, 3), В (0,96, 2,95).
Решение
1) Вычислим значение z1функции в точке В : = (0,96)2 + 3(0,96*2,95) – (2,95)2 = 0,9216 + 8.496 – 8.7025 = 0,7151
3) Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке С (x0, y0, z0): z – z0 = (2x0 + 3y0)(x-x0) + (3x0 – 2y0)(y – y0)
№3
255. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. в прямоугольнике 0 x3, 0y4.
Решение
= y – 2
= x – 1
Найдем стационарные точки
y – 2 = 0, y = 2
x – 1 =0, x = 1
Точка (1,2) находится в области 0 x3, 0y4 , найдем значение функции в этой точке
z(1,2) = -2
x = 0, = -y, где y принадлежит [0;4], = -1, при любых y. y = 0, = -2x, где х принадлежит [0;3], = -2, при любых x.
x = 3, = 2y – 6, где y принадлежит [0;4], = 2, при любых y.
y = 4, = 2x – 4, где х принадлежит [0;3], = 2, при любых x.
Найдем значения функции z в точках (0,0), (0,4), (3,0), (3,4)
z(0,0) = 0, z (0,4) = -4, z (3,0) = -6, z (3,4) = 2
Сравним значения z(0,0), z (0,4), z (3,0), z (3,4), z(1,2)
zmax = 2 в точке (3,4), zmin = -6 в точке (3,0)
№4
265. Дана функция z=z(x, y), точка A(x0, y0) и вектор а. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А в направлении вектора а. А (1, 1), а = 6i - 8j .
Решение
1) grad Z(A) =
Найдем частные производные функции z в точке A
= 10xy + 3y2 , = 13
= 5x2 + 6xy , = 11
Тогда grad Z(A) =
2) Найдем производную в точке A в направлении вектора
Найдем единичный вектор вектора
= = – , где = = 10
Отсюда = ,
13* + 11* = = 16
№5
275. Найти формулу вида у=ах+b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы)
Решение
Система линейных уравнений для определения параметров а и b имеет вид
Составим таблицу i xi yi xi yi xi2 1 1 4,1 4,1 1 2 2 5,1 10,2 4 3 3 3,6 10,8 9 4 4 1,6 6,4 16 5 5 2,1 10,5 25
