ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ контрольная работа №3 128. Найти производную dy/dx данных функций: а) у=∛(1+х√(х+3)) б) у=√(1+ln^2х ) в) у=е^(1/х^2 ) г)у=〖〖(sin〗х)〗^cosх д)е^(х+у)=〖=sin〗〖х/у〗 Решение: а) у=∛(1+х√(х+3)) найдем производную данной функции dy/dx=〖(∛(1+х√(х+3)) )〗^'=1/3 (1+х√(х+3))^(- 2/3) (1+х√(х+3))^'=1/3 (1++х√(х+3))^(- 2/3) 〖((0+(х√(х+3))〗^')= =1/3 (1+х√(х+3))^(- 2/3) (√(х+3)+x(√(х+3))^')= 1/3 (1+х√(х+3))^(- 2/3) (√(х+3)++х/(2√(х+3)))=(х+2)/(2 (1+х√(х+3))^( 2/3) (√(х+3))); б) у=√(1+ln^2х ) посчитаем производную от данной функции dy/dx=〖(√(1+ln^2х ))〗^'=(Найдем производную используя правило (f(g(x)) )’=f’ g’) (1) =1/(2√(1+ln^2х )) (1+ ln^2〖х)'〗=1/(2√(1+ln^2х )) 〖(ln〗^2 х)'= ( lnх)/(х√(1+ln^2х )); в) у=е^(1/х^2 ) посчитаем производную от данной функции dy/dx=〖(е〗^(1/х^2 ))'(используя (1) получим)= е^(1/х^2 ) ( 1/х^2 )'= е^(1/х^2 ) ( (-2)/х^3 )=-2 е^(1/х^2 )/х^2 г)у=〖〖(sin〗х)〗^cosх найдем производную данной функции, для этого сначала прологарифмируем последнее равенство по основанию е, получим ln〖у=ln〖〖〖((sin〗х)〗^cosх ) 〗 〗 □(⇒┬ ) ln〖у=〖cosх ln(〗〖sinх) 〗 〗отсюда получим, 〖(ln〗〖у)'=(〖cosх ln(〗〖sinх))' 〗 〗 ⇒┬ у^'/у=〖-sin〗x lnsinx +cosx/sinx cosx ⇒┬ у^'=у(〖-sin〗x lnsinx +cos^2x/sinx ) ⇒┬ у^'=〖〖(sin〗х)〗^cosх (〖-sin〗x lnsinx +cos^2x/sinx ) д) е^(х+у)=sin〖у/х〗 найдем производную в неявном виде 〖(е〗^(х+у))'=(sin〖у/х〗)'□(⇒┬ ) (1+у^' ) е^(х+у)=cos〖y/x〗 (y/x)' □(⇒┬ ) (1+у^' ) е^(х+у)=cos〖y/x〗 ((y^' x-y)/x^2 )□(⇒┬ ) y^' е^(х+у)+е^(х+у)=〖y^'/х cos〗〖y/x〗-□(〖y^ /х^2 cos〗〖y/x〗 ⇒┬ ) у^'=(у cos〖у/х〗+х^2 е^(х+у))/(х cos〖у/х〗-х^2 е^(х+у) ) Ответ: а) (х+2)/(2 (1+х√(х+3))^( 2/3) (√(х+3))) ,б) ( lnх)/(х√(1+ln^2х )) в) -2 е^(1/х^2 )/х^2 г)у^'=〖〖(sin〗х)〗^cosх (〖-sin〗x lnsinx +cos^2x/sinx ) д) у^'=(у cos〖у/х〗+х^2 е^(х+у))/(х cos〖у/х〗-х^2 е^(х+у) ) 138. Найти dy/dx и (d^2 y)/(dx^2 ) а) у=х е^(1/х) б) х=ctg t, y=1/cos^2t Решение: Найдем dy/dx для этого воспользуемся правилом (uv) '= u'v+v'u y’= dy/dx= (х е^(1/х))'= е^(1/х)+х е^(1/х) (1/х)^'=е^(1/х)-х/х^2 е^(1/х)=е^(1/х)-е^(1/х)/х Найдем (d^2 y)/(dx^2 ), (d^2 y)/(dx^2 )=(е^(1/х)-е^(1/х)/х)^'=〖(е〗^(1/х))'-(е^(1/х)/х)'=е^(1/х) (1/х)'-(x(е^(1/х) )^'-е^(1/х))/х^2 =-е^(1/х)/х^2 +е^(1/х)/х^3 +е^(1/х)/х^2 =е^(1/х)/х^3 б) Найдем dy/dx и (d^2 y)/(dx^2 ) для этого воспользуемся правилом нахождения производной от функции заданной параметрически dy/dx=у_x^'=(у_t^')/(х_t^' ), (d^2 y)/(dx^2 )=у_xx^''=(〖(у_x^')〗_t^')/(х_t^' ) Найдем dy/dx=у_x^' , для этого посчитаем х_t^' и y_t^' х_t^'=(ctg t)^'=(-1)/sin^2t , y_t^'=(1/cos^2t )^'=(2 sint)/cos^3t ; dy/dx=((2 sint)/cos^3t )/((-1)/sin^2t )=-2 tg^3 t . Найдем (d^2 y)/(dx^2 ) для этого посчитаем 〖(у_x^')〗_t^' 〖(у_x^')〗_t^'=(-2 tg^3 t)'=-6tg^2 t (tg t)'=(-6tg^2 t)/cos^2t ; (d^2 y)/(dx^2 )=((-6tg^2 t)/cos^2t )/((-1)/sin^2t )=6tg^4 t Ответ: а) dy/dx=е^(1/х)-е^(1/х)/х, (d^2 y)/(dx^2 )=е^(1/х)/х^3 ;б)dy/dx=-2 tg^3 t,(d^2 y)/(dx^2 )=6tg^4 t. 148. Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб поперечное сечение, которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образованный стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды? Решение: Сделаем чертеж сечения желоба
Для того, чтобы объем был максимальный необходимо, чтобы площадь трапеции была максимальной и потом вычислим угол< EFG=90+<EFL . Найдем площадь трапеции: Для этого найдем FL(высоты) из треугольника FLE по теореме Пифагора FL=√(100-x^2 ); S_FGHE=(FG+HE)/2 FL=(x+x+10+10)/2 √(100-x^2 )= (x+10) √(100-x^2 ) Получили функцию исследуем ее на максимум S^'=√(100-x^2 )-(x(x+10))/√(100-x^2 )=(100-x^2-x^2-10x)/√(100-x^2 )=(100-2x^2-10x)/√(100-x^2 ) Найдем экстремумы данной функции S^'=0□(⇒┬ ) (100-2x^2-10x)/√(100-x^2 )=0⇒┬ 50-x^2-5x=0 по теореме Виета найдем корни x=5 или х=-10, х=-10 не корень уравнения. Получили единственный корень х=5. Определим это точка максимума или минимума
Получили х=5 точка максимума . Для того чтобы найти <EFG=90+30=120 (<EFL=30,) в прямоугольном треугольнике против угола в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Ответ:120 градусов 158. Провести полное исследование функции и построить ее график: у=〖((х+2)/(х-1))〗^2 Решение: исследуем функцию. D(y)=[0;+∞) область определения функции E(y)=(-∞;1)U(1;+∞) Функция не является ни четной ни нечетной Находим точки пересечения с осями координат у=0, х=-2; х=0, у=4 Точка разрыва х=1, причем lim┬(х□(→┬ 1±0))〖у=∞〗, х=0 является вертикальной асимптотой графика. Находим наклонные асимптоты: k=lim┬(x→∞)〖〖(x+2)〗^2/(〖(x-1)〗^2 x)=0;〗 b=lim┬(x→∞)〖〖(x+2)〗^2/〖(x-1)〗^2 =1;〗 y=1 наклонная асимптота Найдем экстремумы функции и интервала возрастания и убывания. у^'=〖(((x+2)/(x-1))〗^2)'= -2 (x+2)/(x-1) ( (x-1-x-2)/〖(x-1)〗^2 )= (-6(x+2))/〖(x-1)〗^3 существует единственная критическая точка х=-2. Определим для у' промежутки знакопостоянства
у^'>0 при х∈[-2;1)функцыя возрастает у^'<0 при х∈(-∞;-2)U(-2;+∞) функция убывает х=-2 точка минимума так как 〖у^'〗^'=(-6(-2x-7))/〖(x-1)〗^2 〖у^'〗^' (-2)>0 у_min (-2)=0
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Так как 〖у^'〗^' (x)>0 при х∈(-3.5;1)U(1;+∞) график вогнут 〖у^'〗^' (x)<0 при х∈(-∞;-3.5) график выпуклый Строим график:
168.Дана функция z=arctg x/y. Показать, что (d^2 z)/(dx^2 )+(d^2 z)/(dy^2 )=0 Решение: Найдем dz/dx=(arctg x/y) '=y^2/(y^2+x^2 ) 1/y=y/(y^2+x^2 ) , теперь (d^2 z)/(dx^2 ) (d^2 z)/(dx^2 )=(y/(y^2+x^2 ))^'=(-2xy)/〖〖(y〗^2+x^2)〗^2 ; Найдем dz/dy=(arctg x/y) '=y^2/(y^2+x^2 ) (-x)/y^2 =(-x)/(y^2+x^2 ) , теперь (d^2 z)/(dy^2 ) (d^2 z)/(dy^2 )=((-x)/(y^2+x^2 ))^'=2xy/〖〖(y〗^2+x^2)〗^2 ; Находим (d^2 z)/(dx^2 )+(d^2 z)/(dy^2 )=(-2xy)/〖〖(y〗^2+x^2)〗^2 +2xy/〖〖(y〗^2+x^2)〗^2 =0 Показали требуемое. 178. Даны функция z=f(x,y) и две точки А(х_0,у_0) и В(х_1,у_1). Требуется: 1)вычислить приближенное значение z_1 функции в точке заменив В исходя из значения z_0 в точке А, заменив приращение от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность возникшую при замене приращения функции ее дифференциалом; составить уравнение касательной плоскости в точке С(х_0,у_0,z_0) z=xy+x-y A(1.5;2.3) B(1.43;2.35) Решение: Вычислим значение z_1 в точке В z_1 (1.43;2.35)=1.43 2.35+1.43-2.35=2.4405 х_0=1.5;у_0=2.3 Δх=х_1 〖-х〗_0=-0.07; Δу=у_1 〖-у〗_0=0.05 z_0=2.65 z_1=z_0+df(A); df(A)=(∂z(A))/∂x Δх+ (∂z(A))/∂y Δy Посчитаем (∂z(A))/∂x=у+1=3.3; (∂z(A))/∂у=х-1=0.5 f(1.43;2.35)≈2.65-0.231+0.025=2.444 Считаем погрешность: δ=Δa/(|a|) =(2.444-2.4405)/2.4405=0.14%. 3.Составим уравнение касательной в С(1.5;2.3;2.65) , оно имеет вид 〖z-z〗_0=f_x^' (х_0,у_0 )(x-х_0 )+f_y^' (х_0,у_0 )(y-y_0 ) z-2.65=3.3(x-1.5)+0.5(y-2.3) z-3.3x+0.5y+3.35=0 Ответ: 2.444; δ=0.14%; z-3.3x+0.5y+3.35=0.
