Контрольная работа № 3. Введение в математический анализ
Задачи 81–90 Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график. Задача 82: . Решение: Выделим в заданной функции полный квадрат
Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции получают путем переноса графика вверх или вниз вдоль оси OY на в зависимости от знака b, график функции получается параллельным переносом графика при в положительном направлении оси ОХ на с, и в отрицательном направлении этой оси при , а график функции получается растяжением графика вдоль оси ОY в А раз при или сжатием вдоль этой оси в А раз при . Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы в точку , перевернув ее ветвями вниз и затем растянув параболу в 4 раза вдоль оси OY.
Задачи 91–100 Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии. Задача 92: . Решение: 1) Составим таблицу значений:
0
r 1,20 1,24 1,36 1,59 2,00 2,69 3,78 5,21 1,20
6,00 5,21 3,78 2,69 2,00 1,59 1,36 1,24 1,20 6,00
Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
Задачи 101–110 Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. Задача 102: 1) ; 2) ; 3) . Решение:
. Задачи 111–120 Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции. Задача 112: 1) ; 2) . Решение:
. Задачи 121–130 Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертёж. Задача 122: Решение: Область определения функции f(x) – вся числовая ось. Разрывы возможны только в точках x = 0 и x = 4, в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке x = 0 и значение функции в этой точке:
Следовательно, в точке x = 0 функция имеет разрыв 1-го рода, т.к. значение функции в этой точке не совпадает со значениями предела функции слева в этой точке.
Рассмотрим точку x = 4:
Так как односторонние пределы функции слева и справа конечны и равны значению функции в этой точке, то функция при х = 4 непрерывна.
