Задачи 41–50 Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы). Задача 42: Решение: Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель: . Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители
которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы. Далее по формулам Крамера вычисляем:
Таким образом, система имеет единственное решение , , .
Составим расширенную матрицу системы: . Теперь приведём её путём элементарных преобразований к трапециевидному виду. Для этого прибавим к 1‑й строке 3‑ю, умноженную на (-1) и вторую, умноженную на (-2), ко 2‑й строке прибавим 3‑ю, умноженную на (-2). Получим: . Ко 2‑й строке, умноженной на 3 прибавим 3‑ю, умноженную на 5 получим . Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений
Отсюда находим:
Решим систему матричным способом. Решение невырожденной системы можно найти по формуле . Найдем обратную матрицу A-1
Решим систему уравнений.
Задачи 51–60 Найти общее решение системы линейных уравнений. Задача 52: Решение: Для исследования совместности применим критерий Кронекера-Капелли. Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов: . Находим ранг r расширенной матрицы: . Отсюда . Система совместна, но имеет множество решений. Найдем базисное частное решение при х3 = 0, х4 = 0.
Итак, общее решение неоднородной системы линейных уравнений
Задачи 61–70 Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. Задача 62: . Решение: Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А. При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор . Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде . Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор . Здесь х2 – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид . Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор . Приняв , получим собственный вектор в виде . Таким образом, матрица А имеет три собственных значения , , , а соответствующие им собственные векторы имеют вид
Задачи 71–80 Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат. Задача 72: . Решение: В уравнении заданной кривой присутствует квадратичная форма следующего вида: . Составим матрицу данной квадратичной формы и найдём её собственные значения: . Корнями характеристического уравнения являются числа и . Им соответствуют собственные векторы и . Нормируя собственные векторы, получим и . Матрица перехода Т к новому базису имеет вид . В соответствии с соотношением вводим замену переменных
Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
. После преобразования выражения получим
или
Введя замену , , получим уравнение прямых
в системе координат . График полученных прямых приведем на рисунке.
