Задачи 1–10 Даны четыре вектора , , и , заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Задача 2: ; ; ; . Решение: 1) Вычислим скалярное произведение
2) Вычислим векторное произведение
3) Покажем, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Базис образуют линейно независимые векторы.
Таким образом, векторы линейно независимы и, соответственно, могут образовывать базис. Найдем координаты вектора x в этом базисе.
Получим систему уравнений.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера.
По формулам Крамера находим решение системы:
Таким образом, вектор в базисе векторов имеет вид:
Задачи 11–20 Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж. Задача 12: ; ; ; . Решение: 1) Вычислим длину ребра А1А2. Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле , где координаты точки , координаты точки .
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда уравнение прямой будет иметь вид:
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: -4x + 34 y +24z + с = 0 2x – 17y – 12z + с = 0 Для определения с подставим координаты точки А1 в уравнение. 2 • 3 – 17 • 3 – 12 • 9 + с = 0 – 153 + с = 0 с = 153 Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: 2x – 17y – 12z + 153 = 0 5) угол между ребром и гранью
β – искомый угол между ребром и гранью
6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты направляющего вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , из которой по условию задачи должна быть опущена высота на плоскость , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
7) площадь грани А1А2А3
8) объем пирамиды
9) сделать чертёж
Задача 22. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости . Решение: Уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно заданной плоскости будет: . Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Подставим полученные выражения в уравнение заданной плоскости.
Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка MM’, поэтому
Т.е. .
Задача 32. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки , чем от оси ординат. Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением. Решение: Обозначим произвольную точку искомой линии как . Тогда по условию получаем, что , где точка Р – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ординат. Находим: ; . . Значит, . Это каноническое уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке (-1;0).
