Задача1 Даны четыре вектора ; ; ; , за-данные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить ска-лярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Решение 1) Найдем вектор 2( ) = ( ) = (4; 2; -2). Тогда (f1, f2, f3) = (4 - (-2); 2 - 5; - 2 - 3) = (6; -3; -5). Скалярное произведение векторов найдем по формуле: = = b1f1 + b2f2 + b3f3 = 1 6 + 3 (-3) + 0 (-5) = 6 - 9 + 0 = -3 б) Найдем вектор 3(1; 3; 0) = (3 1; 3 3; 3 0) = (3; 9; 0) Тогда (е1, е2, е3) = (2 - 3; 1- 9; -1 – 0) = (-1; - 8; -1) Векторное произведение векторов найдем по формуле:
3) Найдем смешанное произведение векторов :
Т.к. ≠ 0, значит данные векторы не компланарны. Таким образом, они линейно независимы и образуют базис. Найдем координаты вектора d в этом базисе.
Это равенство равносильно следующим равенствам: 2x + 1 y - 2 z = - 6 2x + у - 2z = - 6 1 x + 3y + 5z = 20 x + 3y + 5z = 20 -1 x + 0 y + 3z = 10 - x + 3z = 10 Решим данную систему. Из 3-го уравнения получаем х = 3z - 10. Подставим полученное выражение для x в 1-ое уравнение: 2 (3z – 10) + y – 2z = - 6 у = - 4z + 14 Подставим полученные выражения для x и z вo 2-oе уравнение: 3z - 10 + 3(- 4z + 14) + 5z = 20 z = 3 x = 3 3 – 10 = - 1 y = - 4 3 + 14 = 2 Тогда Таким образом, вектор в базисе имеет координаты х = - 1; у = 2; z = 3 Ответ: 1) - 3; 2) ; 3) Остальное в Файле!
