3.Дифференциальное исчисление 123. Найти производную данных функций: а) б)
в)
г) Прологарифмируем обе части уравнения и преобразуем равенство Прологарифмируем обе части равенства
д) Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим или
133. Найти и а) y= x2lnx
б) х=t+½sin2t y=cos3t
Находим
143.В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?
Уравнение прямой задается уравнением y=kx+b, т.к. прямая проходит через точку (1;2), то подставляя координаты в уравнение, получим 2=k+b k=2-b (*) где к<0 (т.к. прямая АВ образует с Ох тупой угол) и b>2 Найдем отрезки, которые отсекает прямая с осями координат: с Оу: х=0 у=b, след. длина отрезка ОА=b; с Ох: у=0 kx+b=0 , подставим вместо k замену (*) получим . Длина отрезка ОВ= . Площадь треугольника равна S(b)=
=0 при b=4, b=0 ( не удовлетворяет условию b>2) ,
b=4 точка минимума функции. Значит площадь треугольника, на отсекаемых прямой на осях принимает наименьшее значение при ОА=4 и ОВ=
153. Провести полное исследование функции и построить ее график
1) Область определения D(y)= 2) Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной. 3) Точки пресечения с осями координат с Ох : у=0 х=0 т.(0; 0) с Оу: х=0 у= 0 т.(0; 0) 4) Функция непериодическая. 5) Асимптоты Т.к. точка разрыва 1, то находим пределы :
Прямая х=1 вертикальная асимптота.
Значит, у=0 горизонтальная асимптота Проверим, существует ли наклонная асимптота. , т.е. наклонной асимптоты нет. 5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума
=0 х=-1 критическая точка
Функция возрастает на промежутке (-1;1) и убывает на промежутках (-∞;-1) и (1;0), х=-1 точка минимума у(-1)= 0,25, х=1 точка разрыва функции 6) Выпуклость, вогнутость функции
=0 при х=-2, т.е.
Функция вогнута на промежутках (-2;1) и (1; +∞) и выпукла на промежутке (-∞;-2). По результатам исследования функции строим график.
163. Дана функция . Показать, что Найдем
, что и требовалось показать.
173. Даны функции и две точки А(-2,2) и В(-2,02;2,05). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значений z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(х0,у0,z0). 1) 2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции при x = -2.02 = x1, у = 2.05 = у1. За x0 принимаем число -2, за у0 –число 2. Тогда z(x0,y0) = ; Переведём dx в радианы dx = x1 – x0 = -2,02+2=-0,02, dy = y1 –y0 = 2,05-2= 0,05
Тогда получим: z(x0,y0) + (x0,y0)dx+ (x0,y0)dy=12-5*(-0.02)+5*0.05=12.35 Оценим погрешность: % 3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,2,11). Искомое уравнение имеет вид: .
